Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
Bài toán Định luật Gauss – Đối xứng trụ
Ví dụ 1. Hình vẽ dưới đây cho thấy một tiết diện của một ống mỏng, dài bán kính R mang một điện tích \( \lambda \) trên một đơn vị dài ở trên mặt của nó. Suy ra biểu thức tính E theo khoảng cách r đến trục của ống với (a) r > R và (b) r < R. Biểu diễn bằng đồ thị kết quả của bạn với r = 0 đến r = 5,0 cm biết \( \lambda =2,{{0.10}^{-8}}C/m \) và R = 3,0 cm. (Gợi ý: dùng các mặt Gauss có dạng trụ, đồng trục với ống kim loại)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng mặt Gauss là 1 hình trụ kín đồng trục với ống kim loại, có chiều dài đơn vị, có bán kính r.
a) Khi r < R: điện tích bên trong mặt Gauss bằng 0 suy ra E = 0.
b) Khi r > R điện tích bên trong mặt Gauss bằng \( \lambda \) (mật độ điện dài), suy ra:
\( E\times 2\pi r=\frac{\lambda }{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow E=\frac{\lambda }{2\pi r{{\varepsilon }_{0}}} \)
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 2. Hình vẽ dưới đây cho thấy một đoạn của hai ống trụ dài, mỏng đồng trục với bán kính a và b (a < b). Các ống trụ có điện tích bằng và trái dấu trên một đơn vị dài \( \lambda \). Dùng định luật Gauss, chứng minh (a) E = 0 với r < a và (b) \( E=\frac{1}{2\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\lambda }{r} \): giữa các mặt trụ, với a < r < b.
Hướng dẫn giải:
Dùng mặt Gauss là hình trụ kín đồng trục với các ống trụ kim loại, chiều dài bằng bán kính r.
a) Nếu r < a: trong mặt Gauss không có điện tích, suy ra: E = 0.
b) Nếu a < r < b: điện tích trong mặt Gauss bằng \( -\lambda \) suy ra: \( E=\frac{\lambda }{2\pi r{{\varepsilon }_{0}}} \).
c) Nếu \( r>\ell \): điện tích trong mặt Gauss bằng \( (-\lambda )+(+\lambda )=0 \), suy ra E = 0.
Ví dụ 3. Một sợi dây thẳng dài có điện tích âm cố định với mật độ điện tích dài 3,6 nC.m. Sợi dây được bao bởi một mặt trụ mỏng, không dẫn điện có bán kính ngoài 1,5 cm, đồng trục với dây. Ống trục phải có một điện tích dương trên mặt ngoài của nó với mật độ điện tích mặt \( \sigma \) để cho điện trường tổng cộng trong ống trụ bằng không. Tính giá trị đó của \( \sigma \).
Hướng dẫn giải:
Ống trụ phải mang điện tích dương trên mặt ngoài sao cho mỗi đơn vị dài điện tích bằng 3,6.10-9 C/m, tương ứng với mật độ điện mặt là:
\(\frac{3,{{6.10}^{-9}}}{2\pi .1,{{5.10}^{-2}}.1}=3,{{8.10}^{-8}}\text{ }C/{{m}^{2}}\)
Ví dụ 4. Một thanh trụ rất dài dẫn điện có chiều dài L với điện tích tổng cộng +q được bao quanh bởi một vỏ hình trụ dẫn điện (cũng dài L) với điện tích tổng cộng \( -2q \) như ở hình vẽ dưới đây. Dùng định luật Gauss để tìm (a) điện trường ở các điểm ở ngoài vỏ dẫn (b) sự phân bố điện tích trên vỏ dẫn điện và (c) điện trường trong miền nằm giữa vỏ và thanh.
Hướng dẫn giải:
Chọn mặt Gauss là hình trụ kín đồng trục với thanh trụ mang điện tích +q, cùng chiều dài \( \ell \). Trên mặt trong vỏ dẫn do điện hưởng có điện tích -q. Trên mặt ngoài vỏ dẫn, có điện tích -q (vì điện tích tổng bằng -2q).
Gọi r là bán kính mặt trụ Gauss.
a) r > bán kính vỏ dẫn: điện tích bên trong mặt Gauss bằng \( +q-2q=-q \).
Theo định luật Gauss: \( -2\pi r\ell .E=-\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow E=\frac{q}{2\pi r\ell {{\varepsilon }_{0}}} \)
\( \overrightarrow{E} \) hướng vào trục.
b) Bán kính thanh < r < bán kính vỏ dẫn:
Điện tích bên trong mặt Gauss bằng +q.
Suy ra: \( E=\frac{q}{2\pi r\ell {{\varepsilon }_{0}}} \), hướng ra ngoài trục.
Ví dụ 5. Một pozitron có điện tích 1,6.10–19C quay theo quỹ đạo tròn bán kính r đồng tâm và ở giữa các trụ của Ví dụ 1. Động năng K của nó tính bằng eV bằng bao nhiêu? Giả thử a = 2,0 cm, b = 3,0 cm và \( \lambda =30\text{ }nC/m \)
Hướng dẫn giải:
Điện trường \( E=\frac{\lambda }{2\pi r{{\varepsilon }_{0}}} \) , hướng vào trục, tác dụng lực điện lên pozitron: \( F=eE=\frac{\lambda e}{2\pi r{{\varepsilon }_{0}}} \)
Lực này đóng vai trò lực hướng tâm: \( F=\frac{\lambda e}{2\pi r{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{m{{v}^{2}}}{r} \).
Suy ra: \( \frac{m{{v}^{2}}}{2}=\frac{\lambda e}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \)
Chú ý: Kết quả này không phụ thuộc giá trị r, miễn là: a < r < b.
Ví dụ 6. Điện tích được phân bố đều trong thể tích của một hình trụ dài vô hạn, bán kính R. (a) chứng tỏ rằng E ở khoảng cách r đến trục của hình trụ (r < R) được cho bởi: \( E=\frac{\rho r}{2{{\varepsilon }_{0}}} \), trong đó \( \rho \) là mật độ điện tích thể tích. (b) Viết biểu thức của E khi r > R.
Hướng dẫn giải:
Vẽ mặt Gauss là 1 mặt trụ kín đồng trục với hình trụ tích điện, có độ dài đơn vị và có bán kính r < R.
Điện tích nằm trong mặt Gauss này: \( q=\rho \pi {{r}^{2}} \).
Thông lượng điện qua mặt Gauss này: \( \phi =2\pi r.E \)
Theo định luật Gauss: \( 2\pi rE=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}q=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \times \pi {{r}^{2}} \)
Suy ra: \( E=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho r}{2} \).
