Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương

Hướng dẫn giải:

Động năng ban đầu của hệ bằng không vì lúc đầu hệ đứng yên. Vì dây không bị trượt nên lúc sau vật m₁ và m₂ có cùng vận tốc  \( v=\omega R  \) bằng vận tốc dài ở mép ròng rọc. Do đó động năng của hệ lúc sau chính là tổng động năng tịnh tiến của hai vật và động năng quay của ròng rọc:  \( {{E}_{\text{đ}}}=\frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right){{v}^{2}}+\frac{1}{2}I{{\omega }^{2}} \)

Với momen quán tính của ròng  rọc là:  \( I=\frac{1}{2}{{m}_{O}}{{R}^{2}} \)

\(\Rightarrow {{E}_{\text{đ}}}=\frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right){{v}^{2}}+\frac{1}{4}{{m}_{O}}{{\left( R\omega  \right)}^{2}}\)\(=\frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}} \right){{v}^{2}}+\frac{1}{4}{{m}_{O}}{{v}^{2}}\)

 \( \Rightarrow {{E}_{\text{đ}}}=\frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+\frac{1}{2}{{m}_{O}} \right){{v}^{2}} \)

Khi vật m₁ đi xuông một đoạn đường s thì vật m₂ đi lên một đoạn s, ta có:

 \( s={{h}_{1}}-{{h}_{1}}^{\prime }=-\left( {{h}_{2}}-{{h}_{2}}^{\prime } \right) \)

Trong quá trình đó, công của trọng lực là:

\({{A}_{P}}={{m}_{1}}g\left( {{h}_{1}}-{{h}_{1}}^{\prime } \right)+{{m}_{2}}g\left( {{h}_{2}}-{{h}_{2}}^{\prime } \right)=\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)gs\)

Mặt khác, lực cản tạo ra momen cản trở chuyển động quay của ròng rọc, nên công của lực cản là:  \( {{A}_{C}}=-{{\mathcal{M}}_{C}}.\theta  \), với  \( \theta  \) là góc mà ròng rọc đã quay. Do dây không trượt trên rãnh ròng rọc, nên  \( \theta =\frac{s}{R} \). Do đó:  \( {{A}_{C}}=-{{\mathcal{M}}_{C}}.\frac{s}{R} \)

Theo định lí động năng: \(\Delta {{E}_{\text{đ}}}={{A}_{\text{ngoại lực}}}={{A}_{P}}+{{A}_{C}}\)

 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+\frac{1}{2}{{m}_{O}} \right){{v}^{2}}=\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)gs-{{\mathcal{M}}_{C}}.\frac{s}{R} \)

Gọi a là gia tốc của các vật thì  \( {{v}^{2}}-v_{0}^{2}=2as  \),  \( {{v}_{0}}=0 \)

Suy ra:  \( \frac{1}{2}\left( {{m}_{1}}+{{m}_{2}}+\frac{1}{2}{{m}_{O}} \right).2as=\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)gs-{{\mathcal{M}}_{C}}.\frac{s}{R} \)

\(\Leftrightarrow a=\frac{\left( {{m}_{1}}-{{m}_{2}} \right)g-\frac{{{\mathcal{M}}_{C}}}{R}}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}+\frac{1}{2}{{m}_{O}}}\)    (*)

Thay số ta có:  \( a=\frac{\left( 6-3 \right).10-\frac{0,2}{0,1}}{6+3+\frac{1}{2}.2}=2,8\text{ }m/{{s}^{2}} \)

Vật m₁ đi xuống khi và chỉ khi \( a\ge 0 \).

Từ (*) suy ra: \({{m}_{1}}\ge {{m}_{2}}+\frac{{{\mathcal{M}}_{C}}}{gR}\)

Vật m₁ đi lên khi và chỉ khi m₂ đi xuống. Hoán vị m₁ và m₂ trong công thức (*), ta cũng có điều kiện:  \( {{m}_{2}}\ge {{m}_{1}}+\frac{{{\mathcal{M}}_{C}}}{gR} \) hay  \( {{m}_{1}}\le {{m}_{2}}-\frac{{{\mathcal{M}}_{C}}}{gR} \)