Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
Cơ Học - Mechanics
Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về chuyển động thẳng đều, đặc biệt là sự khác biệt giữa tốc độ trung bình và vận tốc trung bình, phân biệt được độ dời và quãng đường.
A. Lý Thuyết
1) Chuyển động thẳng
a) Vectơ độ dời
+ Tại thời điểm t1, chất điểm ở vị trí M1.
+ Tại thời điểm t2, chất điểm ở vị trí M2.
\( \Rightarrow \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \) được gọi là vectơ độ dời của chất điểm trong khoảng thời gian \( \Delta t={{t}_{2}}-{{t}_{1}} \).
b) Độ dời trong chuyển động thẳng
Trong chuyển động thẳng vectơ độ dời nằm trên đường thẳng quỹ đạo.
Chọn trục Ox trùng với đường thẳng quỹ đạo
Gọi x1 và x2 là tọa độ của điểm M1 và M2.
Độ dời của chất điểm trong chuyển động thẳng (hay giá trị đại số của vectơ độ dời \( \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \)) là: \( \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}} \).
c) Độ dời và quãng đường đi
+ Độ dời có thể không trùng với quãng đường đi.
+ Nếu chất điểm chuyển động theo một chiều và lấy chiều này là chiều dương của trục tọa độ thì độ dời trùng với quãng đường đi được.
d) Vận tốc trung bình
+ Vectơ vận tốc trung bình: \( {{\vec{v}}_{tb}}=\frac{\overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}}{\Delta t} \)
+ Vectơ vận tốc trung bình \( {{\vec{v}}_{tb}} \) có phương và chiều trùng với vectơ độ dời \( \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \).
+ Trong chuyển động thẳng \( {{\vec{v}}_{tb}} \) có phương và chiều trùng với vectơ \( \overrightarrow{{{M}_{1}}{{M}_{2}}} \).
+ Giá trị đại số của vectơ vận tốc trung bình: \( {{v}_{tb}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}} \)
+ \( \Delta x>0\Rightarrow {{v}_{tb}}>0\Rightarrow {{\vec{v}}_{tb}}\uparrow \uparrow \overrightarrow{Ox} \)
+ \( \Delta x<0\Rightarrow {{v}_{tb}}<0\Rightarrow {{\vec{v}}_{tb}}\uparrow \downarrow \overrightarrow{Ox} \)
e) Tốc độ trung bình:
+ Tốc độ trung bình: \( \bar{v}=\frac{\text{Tổng quãng đường}}{\text{Tổng Thời gian}}=\frac{\sum{s}}{\sum{t}} \)
+ Trong chuyển động thẳng theo một chiều, chiều dương là chiều chuyển động thì tốc độ trung bình bằng vận tốc trung bình và \( \Delta x=s \).
Như vậy trong bài toán chuyển động thẳng một chiếu thì để yêu cầu tìm tốc độ trung bình hay vận tốc trung bình là giống nhau.
+ Nếu vật chuyển động cùng trên một quỹ đạo có nhiều giai đoạn chuyển động với các vận tốc \( \bar{v}=\frac{{{s}_{1}}+{{s}_{2}}+{{s}_{3}}+…}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}+…}=\frac{{{v}_{1}}{{t}_{1}}+{{v}_{2}}{{t}_{2}}+{{v}_{3}}{{t}_{3}}+…}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}+…} \)
+ Trung bình cộng của vận tốc: \( {{\bar{v}}_{n}}=\frac{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}+{{v}_{3}}+…+{{v}_{n}}}{n} \)
– Chú ý:
+ Nếu \( {{t}_{1}}={{t}_{2}}={{t}_{3}}=…={{t}_{n}} \) thì tốc độ trung bình bằng trung bình cộng của vận tốc.
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
2) Chuyển động thẳng đều
a) Kiến thức cơ bản
+ Định nghĩa: Chuyển động thẳng đều là chuyển động trên đường thẳng với vận tốc không đổi.
+ Gia tốc: \( \vec{a}=\overrightarrow{0} \)
+ Vận tốc: \( \vec{v}=\overrightarrow{const} \)
+ Quãng đường: \( s=v\left( t-{{t}_{0}} \right)=vt \) (nếu chọn \( {{t}_{0}}=0 \))
+ Phương trình chuyển động: \( x={{x}_{0}}+v\left( t-{{t}_{0}} \right)={{x}_{0}}+vt \) (nếu chọn \( {{t}_{0}}=0 \))
Trong đó:
- \( {{x}_{0}} \): tọa độ ban đầu của chất điểm
- v: hình chiếu của vectơ vận tốc lên trục Ox; v > 0 nếu \( \vec{v} \) cùng chiều với chiều dương Ox; v < 0 nếu \( \vec{v} \) ngược chiều với chiều dương Ox.
b) Phương pháp lập phương trình chuyển động
⊕ Chọn hệ quy chiếu:
+ Trục tọa độ (Thường trùng với quỹ đạo chuyển động)
+ Gốc tọa độ O (Thường trùng với vị trí ban đầu ⇒ xác định được x0)
+ Chiều dương (Thường trùng với chiều chuyển động của vật ⇒ để xác định dấu x0; x; v)
+ Gốc thời gian: \( {{t}_{0}}=? \) (thường \( {{t}_{0}}=0 \) là lúc bắt đầu khảo sát chuyển động)
⊕ Khi đó phương trình chuyển động có dạng: \( x={{x}_{0}}+v\left( t-{{t}_{0}} \right) \)
⊕ Nếu bài toán có hai chất điểm trên cùng một phương thì \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}={{x}_{01}}+{{v}_{1}}\left( t-{{t}_{01}} \right) \\ & {{x}_{2}}={{x}_{02}}+{{v}_{2}}\left( t-{{t}_{02}} \right) \\ \end{align} \right. \)
⊕ Thời điểm và vị trí hai chất điểm gặp nhau \( {{x}_{1}}={{x}_{2}}\Rightarrow t=? \)
⊕ Khoảng cách giữa hai chất điểm: \( d=\Delta x=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \)
c) Đồ thị tọa độ – thời gian:
⊕ Đồ thị tọa độ theo thời gian là một nửa đường thẳng, có độ dốc (hệ số góc) là v, được giới hạn bởi điểm có tọa độ (t0; x0).
Đồ thị x – t với v > 0
Đồ thị v – t với v > 0
⊕ Lưu ý:
+ Đồ thị đi lên: chất điểm chuyển động thẳng đều theo chiều dương
+ Đồ thị đi xuống: chất điểm chuyển động thẳng đều ngược chiều dương (cùng chiều âm của trục tọa độ)
+ Đồ thị nằm ngang: vật đứng yên.
+ Vận tốc của chất điểm được xác định bằng cách lấy hai điểm bất kì trên đồ thị (nhưng có thể xác định được tọa độ tương ứng): \( v=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}} \)
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. Một xe chạy từ địa điểm A đến điểm B trong 7 giờ: 3 giờ đầu xe chạy với tốc độ trung bình 60 km/h, 4 giờ sau xe chạy với tốc độ trung bình 40 km/h. Tính tốc độ trung bình của xe trong suốt thời gian chuyển động.
Hướng dẫn giải:
Quãng đường đi trong 3 giờ đầu là: \( {{s}_{1}}={{v}_{1}}.{{t}_{1}}=60.3=180\text{ }km \).
Quãng đường đi trong 4 giờ sau là: \( {{s}_{2}}={{v}_{2}}.{{t}_{2}}=40.4=160\text{ }km \)
Vậy tốc độ trung bình của xe là \( \bar{v}=\frac{{{s}_{1}}+{{s}_{2}}}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}=\frac{180+160}{7}=\frac{340}{7}\text{ }km/h \).
Câu 2. Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình \( {{v}_{1}}=36\text{ }km/h \) và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình \( {{v}_{2}}=18\text{ }km/h \). Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.
Hướng dẫn giải:
Gọi s là quãng đường của cả đoạn đường.
Ta có:
Thời gian nửa đoạn đường đầu: \( {{t}_{1}}=\frac{{{s}_{1}}}{{{v}_{1}}}=\frac{s}{2{{v}_{1}}} \).
Thời gian nửa đoạn đường sau: \( {{t}_{2}}=\frac{{{s}_{2}}}{{{v}_{2}}}=\frac{s}{2{{v}_{2}}} \).
Tốc độ trung bình trên cả đoạn đường là:
\( \bar{v}=\frac{s}{{{t}_{1}}+{{t}_{2}}}=\frac{s}{\frac{s}{2{{v}_{1}}}+\frac{s}{2{{v}_{2}}}} \)
\( =\frac{1}{\frac{1}{2{{v}_{1}}}+\frac{1}{2{{v}_{2}}}}=\frac{1}{\frac{1}{2.36}+\frac{1}{2.18}}=24\text{ }km/h \)
Câu 3.Một ô tô đi từ A đến B. Chặng đầu ô tô đi ¼ tổng thời gian với tốc độ 50 km/h. Chặng giữa ô tô đi ½ thời gian với tốc độ 40 km/h. Chặng cuối ô tô đi ¼ tổng thời gian với tốc độ 20 km/h. Tính tốc độ trung bình của ô tô trên cả đoạn đường từ A đến B.
Hướng dẫn giải:
Gọi t là tổng thời gian ô tô đi từ A đến B.
Ta có:
Quãng đường đi chặng đầu là: \( {{s}_{1}}={{v}_{1}}.{{t}_{1}}=50.\frac{1}{4}t=12,5t \)
Quãng đường chặn giữa: \( {{s}_{2}}={{v}_{2}}.{{t}_{2}}=40.\frac{1}{2}t=20t \)
Quãng đường đi chặng cuối: \( {{s}_{3}}={{v}_{3}}.{{t}_{3}}=20.\frac{1}{4}t=5t \)
Tốc độ trung bình của ô tô trên cả đoạn đường AB là:
\( \bar{v}=\frac{{{s}_{1}}+{{s}_{2}}+{{s}_{3}}}{t} \) \( =\frac{12,5t+20t+5t}{t}=37,5\text{ k}m/h \)
Câu 4. Một ô tô chuyển động thẳng đều. Ban đầu ô tô đi trên đường nằm ngang hết thời gian 15 phút với tốc độ 40 km/h, sau đó lên dốc 5 phút với tốc độ 30 km/h. Tính quãng đường ô tô đã đi được.
Hướng dẫn giải:
Quãng đường ô tô đã đi trên đường nằm ngang: \( {{s}_{1}}={{v}_{1}}.{{t}_{1}}=\frac{15}{60}.40=10\text{ }km \)
Quãng đường ô tô đã đi trên đường lên dốc: \( {{s}_{2}}={{v}_{2}}.{{t}_{2}}=\frac{5}{60}.30=2,5\text{ }km \)
Quãng đường ô tô đi được là: \( s={{s}_{1}}+{{s}_{2}}=10+2,5=12,5\text{ }km \).
Câu 5.Một người đi xe máy từ A tới B cách nhau 45 km. Nửa thời gian đầu đi với tốc độ v1, nửa thời gian sau đi với tốc độ \( {{v}_{2}}=\frac{2}{3}{{v}_{1}} \). Xác định v1, v2. Biết sau 1 giờ 30 phút người đó đến B.
Hướng dẫn giải:
Quãng đường ô tô đi nửa thời gian đầu: \( {{s}_{1}}={{v}_{1}}.{{t}_{1}}={{v}_{1}}.\frac{1}{2}t \)
Quãng đường ô tô đi nửa thời gian sau: \( {{s}_{2}}={{v}_{2}}.{{t}_{2}}=\frac{2}{3}{{v}_{1}}.\frac{1}{2}t=\frac{1}{3}{{v}_{1}}t \)
Tổng quãng đường ô tô đi được là:
\( s=AB={{v}_{1}}.\frac{1}{2}t+\frac{1}{3}{{v}_{1}}t \)
\( \Leftrightarrow 45=\frac{1}{2}.1,5.{{v}_{1}}+\frac{1}{3}.1,5.{{v}_{1}} \)
\( \Leftrightarrow {{v}_{1}}=36\text{ }km/h\Rightarrow {{v}_{2}}=24\text{ }km/h \)
Câu 6.Một ô tô đi trên quãng đường AB với tốc độ v = 54 km/h. Nếu tăng tốc độ thêm 6 km/h thì ô tô đến B sớm hơn dự định 30 phút. Tính quãng đường AB và thời gian dự định để đi quãng đường đó.
Hướng dẫn giải:
Gọi t là thời gian dự định đi từ A đến B. Theo giả thiết, ta có:
\( AB=54t\)
\( AB=45\left( t+\frac{3}{4} \right) \)
\( \Rightarrow 54t=45\left( t+\frac{3}{4} \right)\Rightarrow t=3,75\text{ }h \)
Quãng đường AB = v.t = 54.3,75 = 202,5 km
Câu 7. Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 2400 m. Nửa quãng đường đầu, xe đi với v1, nửa quãng đường sau đi với \( {{v}_{2}}=\frac{1}{2}{{v}_{1}} \). Xác định v1, v2 sao cho 10 phút xe tới B.
Hướng dẫn giải:
Nửa quãng đường đầu, xe đi với v1, ta có: \( \frac{S}{2}={{v}_{1}}.{{t}_{1}}\Rightarrow {{t}_{1}}=\frac{S}{2{{v}_{1}}} \).
Nửa quãng đường sau đi với \( {{v}_{2}}=\frac{1}{2}{{v}_{1}} \), ta có:
\( \Rightarrow \frac{S}{2}={{v}_{2}}{{t}_{2}} \)
\( \Rightarrow {{t}_{2}}=\frac{S}{2{{v}_{2}}}=\frac{S}{2.\frac{1}{2}{{v}_{1}}}=\frac{S}{{{v}_{1}}} \)
Sau 10 phút xe tới B nên t1 + t2 = 600 s.
\( \Rightarrow \frac{S}{2{{v}_{1}}}+\frac{S}{{{v}_{1}}}=600 \)
\( \Rightarrow {{v}_{1}}=\frac{1,5.S}{600}=\frac{1,5.2400}{600}=6\text{ }m/s \)
\( \Rightarrow {{v}_{2}}=3\text{ }m/s \)
Câu 8. Một ô tô chạy trên một đường thẳng, lần lượt đi qua bốn điểm liên tiếp A, B, C, D cách đều nhau một khoảng 12 km. Xe đi đoạn AB hết 20 phút, đoạn BC hết 30 phút, đoạn CD hết 20 phút. Tính vận tốc trung bình trên mỗi đoạn đường AB, BC, CD và trên cả quãng đường AD. Có thể biết chắc chắn sau 40 phút kể từ khi ở A, xe ở vị trí nào không?
Hướng dẫn giải:
Cách 1:
Chọn gốc tọa độ tại A, chiều dương là chiều chuyển động của xe từ A đến D.
Khi đó, ta có: xA = 0, xB = 12 km, xC = 24 km; xD = 36 km.
Theo đề bài: \( {{t}_{AB}}=\frac{1}{3}h \), \( {{t}_{BC}}=\frac{1}{2}h \), \( {{t}_{CD}}=\frac{1}{3}h \).
Vận tốc trung bình của ô tô trên đoạn AB: \( {{v}_{tb1}}=\frac{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}{{{t}_{AB}}} \) \( =\frac{12-0}{\frac{1}{3}}=36\text{ }km/h \).
Vận tốc trung bình của ô tô trên đoạn đường BC: \( {{v}_{tb2}}=\frac{{{x}_{C}}-{{x}_{B}}}{{{t}_{BC}}} \) \( =\frac{24-12}{\frac{1}{2}}=24\text{ }km/h \)
Vận tốc trung bình của ô tô trên đoạn đường CD: \( {{v}_{tb3}}=\frac{{{x}_{D}}-{{x}_{C}}}{{{t}_{CD}}} \)\( =\frac{36-24}{\frac{1}{3}}=36\text{ }km/h \)
Vận tốc trung bình của ô tô trên cả quãng đường AD: \( {{v}_{tb}}=\frac{{{x}_{D}}-{{x}_{A}}}{{{t}_{AD}}} \) \( =\frac{{{x}_{D}}-{{x}_{A}}}{{{t}_{AB}}+{{t}_{BC}}+{{t}_{CD}}} \) \( =\frac{36-0}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=30,85\text{ }km/h \)
Sau 40 phút, ô tô đang chuyển động trong đoạn đường BC. Trên đoạn BC cũng như trên các đoạn khác, ta chỉ biết được vận tốc trung bình của xe nên không thể biết chắc chắn xe ở vị trí của xe đang chạy.
Cách 2:
Trong chuyển động thẳng một chiều với chiều dương là chiều chuyển động thì tốc độ trung bình bằng vận tốc trung bình. Vì thế ta có thể tìm vận tốc trung bình theo công thức tính tốc độ trung bình.
Vận tốc trung bình của ô tô trên đoạn đường AB: \( {{v}_{tb1}}={{\bar{v}}_{AB}}=\frac{AB}{{{t}_{AB}}} \)\( =\frac{12}{\frac{1}{3}}=36\text{ }km/h \)
Vận tốc trung bình của ô tô trên đoạn đường BC: \( {{v}_{tb2}}={{\bar{v}}_{BC}}=\frac{BC}{{{t}_{BC}}} \)\( =\frac{12}{\frac{1}{2}}=24\text{ }km/h \)
Vận tốc trung bình của ô tô trên đoạn CD: \( {{v}_{tb3}}={{\bar{v}}_{CD}}=\frac{CD}{{{t}_{CD}}} \) \( =\frac{12}{\frac{1}{3}}=36\text{ }km/h \)
Vận tốc trung bình của ô tô trên cả quãng đường AD: \( {{v}_{tb}}={{\bar{v}}_{AD}}=\frac{AD}{{{t}_{AB}}+{{t}_{BC}}+{{t}_{CD}}} \) \( =\frac{12+12+12}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=30,85\text{ }km/h \)
Câu 9. Một người đi xe đạp trên đoạn đường thẳng AB. Trên 1/3 đoạn đường đầu đi với vận tốc 20 km/h; 1/3 đoạn đường tiếp theo đi với vận tốc 15 km/h và 1/3 đoạn đường cuối cùng đi với vận tốc 10 km/h. Tính vận tốc trung bình của xe trên cả đoạn đường AB.
Hướng dẫn giải:
Gọi S là chiều dài quãng đường AB.
Thời gian đi hết 1/3 đoạn đường đầu là: \( {{t}_{1}}=\frac{S}{3{{v}_{1}}} \)
Thời gian đi hết 1/3 đoạn đường tiếp theo là: \( {{t}_{2}}=\frac{S}{3{{v}_{2}}} \)
Thời gian đi hết 1/3 đoạn đường cuối cùng là: \( {{t}_{3}}=\frac{S}{3{{v}_{3}}} \)
Thời gian tổng cộng đi hết quãng đường AB là: \( t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}=\frac{S}{3{{v}_{1}}}+\frac{S}{3{{v}_{2}}}+\frac{S}{3{{v}_{3}}} \) \( =\frac{S}{3}\left( \frac{1}{{{v}_{1}}}+\frac{1}{{{v}_{2}}}+\frac{1}{{{v}_{3}}} \right) \)
Trong chuyển động thẳng theo một chiều, chiều dương là chiều chuyển động thì tốc độ trung bình bằng vận tốc trung bình.
Vận tốc trung bình trên cả đoạn đường AB là:
\( {{v}_{tb}}=\bar{v}=\frac{S}{t}=\frac{S}{\frac{S}{3}\left( \frac{1}{{{v}_{1}}}+\frac{1}{{{v}_{2}}}+\frac{1}{{{v}_{3}}} \right)} \) \( =\frac{3}{\frac{1}{{{v}_{1}}}+\frac{1}{{{v}_{2}}}+\frac{1}{{{v}_{3}}}}=\frac{3}{\frac{1}{20}+\frac{1}{15}+\frac{1}{10}}=\frac{180}{13}\text{ }km/h \)
Câu 10. Hai ô tô chuyển động đều cùng một lúc từ A đến B. Ô tô thứ nhất đi nửa quãng đường đầu với vận tốc v1, nửa quãng đường sau với vận tốc v2. Ô tô thứ hai đi với vận tốc v1 trong nửa thời gian đầu và với vận tốc v2 trong nửa thời gian còn lại.
a) Tính vận tốc trung bình của mỗi ô tô trên cả quãng đường.
b) Hỏi ô tô nào đến B trước và đến trước bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
a) Trong chuyển động thẳng theo một chiều, chiều dương là chiều chuyển động thì tốc độ trung bình bằng vận tốc trung bình.
Đặt AB = S.
+ Ô tô 1: \( \left\{ \begin{align}& \frac{S}{2}={{v}_{1}}{{t}_{1}}\Rightarrow {{t}_{1}}=\frac{S}{2{{v}_{1}}} \\& \frac{S}{2}={{v}_{2}}{{t}_{2}}\Rightarrow {{t}_{1}}=\frac{S}{2{{v}_{2}}} \\\end{align} \right. \)
Thời gian đi cả quãng đường là: \( t={{t}_{1}}+{{t}_{2}}=\frac{S}{2{{v}_{1}}}+\frac{S}{2{{v}_{2}}} \) \( =\frac{S\left( {{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)}{2{{v}_{1}}{{v}_{2}}} \)
Vận tốc trung bình của mỗi ô tô trên cả quãng đường:
+ Ô tô 1: \( {{v}_{tb1}}={{\bar{v}}_{1}}=\frac{S}{t}=\frac{2{{v}_{1}}{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}} \)
+ Ô tô 2: \({ {v}_{tb2}}={{\bar{v}}_{2}}=\frac{S}{t}=\frac{{{v}_{1}}{{t}_{1}}+{{v}_{2}}{{t}_{2}}}{t} \) \( =\frac{{{v}_{1}}.\frac{t}{2}+{{v}_{1}}.\frac{t}{2}}{t}=\frac{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}{t} \)
b)
+ Ô tô 1 đi hết AB trong khoảng thời gian là: \( {{t}_{A}}=\frac{S\left( {{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)}{2{{v}_{1}}{{v}_{2}}} \).
+ Ô tô 2 đi hết AB trong khoảng thời gian là: \( {{t}_{B}}=\frac{2S}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}} \)
\( \Rightarrow {{t}_{B}}-{{t}_{A}}=\frac{2S}{{{v}_{1}}+{{v}_{2}}}-\frac{S\left( {{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)}{2{{v}_{1}}{{v}_{2}}} \) \( =\frac{4S{{v}_{1}}{{v}_{2}}-S{{\left( {{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)}^{2}}}{2{{v}_{1}}{{v}_{2}}\left( {{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)} \) \( =\frac{-S{{\left( {{v}_{1}}-{{v}_{2}} \right)}^{2}}}{2{{v}_{1}}{{v}_{2}}\left( {{v}_{1}}+{{v}_{2}} \right)}<0 \)
Chứng tỏ tB < tA nên xe 2 đến B trước.
Câu 11. Hai thành phố A và B cách nhau 120 km. Lúc 8 giờ một ô tô chuyển động thẳng đều từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Lúc 7 giờ một xe bus chuyển động thẳng đều từ B về A với vận tốc 30 km/h.
a) Lập phương trình chuyển động của 2 xe.
b) Tìm quãng đường mà xe bus chuyển động được khi tọa độ của ô tô là 30 km.
c) Vẽ đồ thị tọa độ theo thời gian của 2 xe.
d) Nếu vẫn giữ hệ quy chiếu như câu a, nhưng gốc tọa độ chọn tại M giữa AB cách nhau 85 km. Lập lại phương trình chuyển động của 2 xe.
Hướng dẫn giải:
a) ⊕ Chọn:
+ Trục tọa độ Ox như hình vẽ
+ Gốc tọa độ: O ≡ A
+ Chiều dương từ A đến B.
+ Gốc thời gian: lúc 7h
+ Xe ô tô: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{01}}=0 \\& {{t}_{01}}=1\text{ }h \\& {{v}_{1}}=60\text{ }km/h \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{01}}+{{v}_{1}}\left( t-{{t}_{01}} \right) \) \( =60\left( t-1 \right),\text{ }t\ge 1 \)
+ Xe bus: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{02}}=120\text{ }km \\& {{t}_{02}}=0\text{ }h \\& {{v}_{2}}=-30\text{ }km/h \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{x}_{2}}={{x}_{02}}+{{v}_{2}}\left( t-{{t}_{02}} \right) \) \( =120-30\left( t-0 \right)=150-30t;\text{ }t\ge 0 \)
b) Khi \( {{x}_{1}}=30\text{ }m\Rightarrow 60\left( t-1 \right)=30 \) \( \Leftrightarrow t=\frac{30}{60}+1=1,5\text{ }h \)
⇒ Quãng đường xe bus chuyển động trong khoảng thời gian 1,5 h là:
\( {{s}_{2}}={{v}_{2}}t=30.1,5=45\text{ }km \)
c) Đồ thị tọa độ theo thời gian của 2 xe:
d)
+ Xe ô tô: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{01}}=-85\text{ km} \\& {{t}_{01}}=1\text{ }h \\& {{v}_{1}}=60\text{ }km/h \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{01}}+{{v}_{1}}\left( t-{{t}_{01}} \right) \) \( =-85+60\left( t-1 \right),\text{ }t\ge 1 \)
+ Xe bus: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{02}}=120-85=35\text{ }km \\& {{t}_{02}}=0\text{ }h \\& {{v}_{2}}=-30\text{ }km/h \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{x}_{2}}={{x}_{02}}+{{v}_{2}}\left( t-{{t}_{02}} \right) \) \( =35-30\left( t-0 \right)=35-30t;\text{ }t\ge 0 \)
Câu 12. Hai ô tô xuất phát cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 20 km, chuyển động đều cùng chiều từ A đến B với vận tốc lần lượt là 40 km/h và 30 km/h.
a) Lập phương trình chuyển động của hai xe trên cùng một trục tọa độ.
b) Xác định khoảng cách giữa hai xe sau 1,5 giờ và sau 3 giờ
c) Xác định vị trí gặp nhau của hai xe.
Hướng dẫn giải:
a) ⊕ Chọn:
+ Trục tọa độ Ox như hình vẽ
+ Gốc tọa độ: O ≡ A
+ Chiều dương từ A đến B.
+ Gốc thời gian: lúc hai xe bắt đầu xuất
+ Xe ô tô: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{01}}=0 \\& {{t}_{01}}=0 \\& {{v}_{1}}=40\text{ }km/h \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{01}}+{{v}_{1}}\left( t-{{t}_{01}} \right)=40t,\text{ }t\ge 0 \)
+ Xe bus: \( \left\{ \begin{align}& {{x}_{02}}=20\text{ }km \\& {{t}_{02}}=0\text{ }h \\& {{v}_{2}}=30\text{ }km/h \\\end{align} \right. \)
\( \Rightarrow {{x}_{2}}={{x}_{02}}+{{v}_{2}}\left( t-{{t}_{02}} \right) \) \( =20+30\left( t-0 \right)=20+30t;\text{ }t\ge 0 \)
b) Khoảng cách giữa hai xe: \( \Delta x=\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right| \) \( =\left| 40t-\left( 20+30t \right) \right|=\left| 10t-20 \right| \)
Khi t = 1,5 h: \( \Delta x=\left| 10.1,5-20 \right|=5\text{ }km \)
Khi t = 3 h: \( \Delta x=\left| 10.3-20 \right|=10\text{ }km \)
c) Hai xe gặp nhau khi \( {{x}_{1}}={{x}_{2}}\Leftrightarrow 40t=20+30t \) \( \Leftrightarrow 10t=20\Leftrightarrow t=2\text{ }h \)
\( \Rightarrow {{x}_{1}}=40.2=80\text{ }km \)
Địa điểm gặp nhau cách A 80 km.
Câu 13. Một ca nô rời bến chuyển động thẳng đều. Thoạt tiên, ca nô chạy theo hướng Nam – Bắc trong thời gian 2 phút 40 giây rồi tức thì rẽ sang hướng Đông – Tây và chạy thêm 2 phút với vận tốc như trước và dừng lại. Khoảng cách từ nơi xuất phát tới nơi dừng là 1 km. Tính vận tốc của ca nô.
Hướng dẫn giải:
Ta có: 2 phút 40 giây = 160 s; 2 phút = 120 s; 1 km = 1000 m.
Gọi A là điểm xuất phát, B là điểm bắt đầu rẽ và C là điểm dừng lại của ca nô.
Ta có: \( A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}} \)
\( \Rightarrow A{{C}^{2}}={{\left( v{{t}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( v{{t}_{2}} \right)}^{2}} \)
\( \Rightarrow v=\frac{AC}{\sqrt{t_{1}^{2}+t_{2}^{2}}} \) \( =\frac{1000}{\sqrt{{{160}^{2}}+{{120}^{2}}}}=5\text{ }m/s=18\text{ }km/h \)
Vậy vận tốc của ca nô là v = 18 km/h
Câu 14. Một người đứng tại A trên một bờ hồ. Người này muốn tới B trên mặt hồ nhanh nhất. Cho các khoảng cách như trên hình vẽ. Biết rằng người này có thể chạy thẳng dọc theo bờ hồ với vận tốc v2 và bơi thẳng với vận tốc v1. Hãy xác định cách mà người này phải theo:
a) Bơi thẳng từ A đến B.
b) Chạy dọc theo bờ hồ một đoạn rồi sau đó bơi thẳng tới B.
Biết vận tốc chạy dọc theo bờ hồ luôn lớn hơn vận tốc khi bơi (v1 < v2)
Hướng dẫn giải:
Vì v1 < v2 nên thời gian bơi đoạn AB không thể là thời gian nhỏ nhất, do đó ta loại trường hợp này.
Giả sử người đó đi theo đường gấp khúc ADB (hình vẽ).
– Thời gian đi theo đoạn ADB là
\( t={{t}_{2}}+{{t}_{1}}=\frac{s-x}{{{v}_{2}}}+\frac{\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}}}{{{v}_{1}}} \) \( =\frac{s}{{{v}_{2}}}+\frac{-{{v}_{1}}x+{{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}}}{{{v}_{1}}{{v}_{2}}} \)
– Vì v1, v2 và s có giá trị xác định nên thời gian \( t={{t}_{\min }} \) \( \Leftrightarrow y={{y}_{\min }}={{\left( -{{v}_{1}}x+{{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}} \right)}_{\min }} \)
\( \Leftrightarrow y+{{v}_{1}}x={{v}_{2}}\sqrt{{{d}^{2}}+{{x}^{2}}} \)
\( \Rightarrow {{\left( y+{{v}_{1}}x \right)}^{2}}=v_{2}^{2}\left( {{d}^{2}}+{{x}^{2}} \right) \)
\( \Leftrightarrow {{y}^{2}}+2y{{v}_{1}}x+v_{1}^{2}{{x}^{2}}=v_{2}^{2}\left( {{d}^{2}}+{{x}^{2}} \right)\ \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)-2y{{v}_{1}}x+v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}}=0 \)
\( \Leftrightarrow {{x}^{2}}-\frac{2y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}x+\frac{v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=0\begin{matrix}{} & (*) \\\end{matrix} \)
Ta có:
\( {\Delta }’={{\left( \frac{y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \right)}^{2}}-\frac{v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \) \( =\frac{{{y}^{2}}v_{1}^{2}-\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)\left( v_{2}^{2}{{d}^{2}}-{{y}^{2}} \right)}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}} \)
\( =\frac{{{y}^{2}}v_{1}^{2}-v_{2}^{4}{{d}^{2}}+v_{2}^{2}{{y}^{2}}+v_{1}^{2}v_{2}^{2}{{d}^{2}}-v_{1}^{2}{{y}^{2}}}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}} \) \( =\frac{v_{2}^{2}\left[ {{y}^{2}}+\left( v_{1}^{2}-v_{2}^{2} \right){{d}^{2}} \right]}{{{\left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right)}^{2}}} \)
– Phương trình (*) có nghiệm thì \( {\Delta }’\ge 0 \) \( \Rightarrow {{y}^{2}}+\left( v_{1}^{2}-v_{2}^{2} \right){{d}^{2}}\ge 0 \)
\( \Rightarrow {{y}^{2}}\ge \left( v_{2}^{2}-v_{1}^{2} \right){{d}^{2}} \) \( \Rightarrow y={{y}_{\min }}=d\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \)
Khi đó \( {\Delta }’=0 \)
\( \Rightarrow x=\frac{y{{v}_{1}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}} \) \( =\frac{d{{v}_{1}}\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \)
a) Nếu \( s\le x=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \)thì cần phải bơi thăng tử A đến B.
b) Nếu \( s\ge x=\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \) thì cần phải chạy trên bờ hồ một đoạn: \( AD=s-x \) \( =s-\frac{d{{v}_{1}}}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}} \) rồi bơi theo đường DB theo hướng hợp với phương BC một góc a thỏa \( \sin \alpha =\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}} \).
Câu 15. Hai tàu A và B cách nhau một khoảng cách a đồng thời chuyển động thẳng đều với cùng độ lớn v của vận tốc từ hai nơi trên một bờ hồ thẳng. Tàu A chuyển động theo hướng vuông góc với bờ trong khi tàu B luôn luôn hướng về phía A. Sau một thời gian đủ lâu, tàu B và tàu A chuyển động trên cùng một đường thẳng nhưng cách nhau một khoảng không đổi. Tính khoảng cách này.
Hướng dẫn giải:
Gọi B’ là hình chiếu của B trên phương xx’ (phương chuyển động của tàu A). Tại thời điểm t, giả sử góc hợp bởi phương xx’ và đường nối hai tàu AB là \( \alpha \).
Ta có:
\( {{v}_{A}}={{v}_{B}}=v;{{v}_{B’}}=v\cos \alpha \)
\( \Rightarrow {{v}_{BA}}={{v}_{AB’}} \), nghĩa là B lại gần A bao nhiêu thì A ra xa B’ bấy nhiêu.
\( \Rightarrow BA+B’A=const\begin{matrix}{} & (1) \\\end{matrix} \)
– Ban đầu, ta có: \( AB=a;B’A=0\text{ }\left( A\equiv B’ \right) \)
\( \Rightarrow BA+B’A=a\begin{matrix}{} & (2) \\\end{matrix} \)
– Khi hai tàu ở trên cùng đường thẳng thì \( B\equiv B’\Rightarrow BA=B’A=d\begin{matrix}{} & (3) \\\end{matrix} \)
– Từ (2) và (3) suy ra: \( d=\frac{1}{2}a \)
Vậy khi hai tàu chuyển động trên cùng một đường thẳng với khoảng cách không đổi thì khoảng cách đó là \( d=\frac{1}{2}a \).
Câu 16. Một chất điểm chuyển động trên một đường thẳng. Đồ thị chuyển động của nó được vẽ trên hình vẽ bên dưới.
a) Hãy mô tả chuyển động của chất điểm
b) Tính vận tốc trung bình và tốc độ trung bình của chất điểm trong các khoảng thời gian sau: \( 0\text{ }s\div 1\text{ }s \), \( 0\text{ }s\div 4\text{ }s \), \( 1\text{ }s\div 5\text{ }s \), \( 0\text{ }s\div 5\text{ }s \).
Hướng dẫn giải:
a) Mô tả chuyển động của chất điểm
+ Khoảng thời gian từ t = 0 s đến t = 1 s: đồ thị chuyển động là một đường thẳng đi lên và làm một góc \( {{\alpha }_{1}} \) với trục Ot. Do đó, chất điểm chuyển động thẳng đều theo chiều dương của trục tọa độ, từ x = 0 đến x = 4 cm. Vận tốc của chất điểm bằng: \( v=\tan {{\alpha }_{1}}=\frac{4}{1}=4\text{ }cm/s \).
+ Khoảng thời gian từ t = 1 s đến t = 2,5 s: đồ thị là một đường thẳng đi xuống và làm một góc \( {{\alpha }_{2}} \) với trục Ot. Do đó, chất điểm chuyển động đều theo chiều âm của trục tọa độ, từ x = 4 đến x = -2 cm. Vận tốc của chất điểm bằng: \( v=\tan {{\alpha }_{2}} \) \( =\frac{-2-4}{1,5}=-4\text{ }cm/s \)
+ Khoảng thời gian từ t = 2,5 s đến t = 4 s, đồ thị là một đường nằm ngang song song với Ot, chất điểm đứng yên ở vị trí có tọa độ x = -2 cm.
+ Khoảng thời gian từ t = 4 s đến t = 5 s, đồ thị là một đường thẳng đi lên và làm một góc \( {{\alpha }_{3}} \) với trục Ot. Do đó, chất điểm chuyển động thẳng đều theo chiều dương của trục tọa độ từ x = -2 cm đến x = 0. Vận tốc của chất điểm bằng: \( v=\tan {{\alpha }_{3}} \) \( =\frac{0-(-2)}{1}=2\text{ }cm/s \)
b) Tốc độ trung bình và vận tốc trung bình:
+ Lúc \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}=0\text{ }s\Rightarrow {{x}_{1}}=0\text{ cm} \\& {{t}_{2}}=1\text{ }s\Rightarrow {{x}_{2}}=4\text{ }cm \\\end{align} \right. \)
Khoảng thời gian \( \Delta t={{t}_{2}}-{{t}_{1}}=1-0=1\text{ }s \)
Độ dời trong khoảng thời gian đó là \( \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}} \) \( =4-0=4\text{ }cm \)
⇒ Vận tốc trung bình: \( {{v}_{tb}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{4}{1}=4\text{ }cm/s \)
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó: \( \Delta s=\left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|=4-0=4\text{ }cm \)
⇒ Tốc độ trung bình \( \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=4\text{ }cm/s \)
+ Lúc \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}=0\text{ }s\Rightarrow {{x}_{1}}=0\text{ cm} \\& {{t}_{2}}=4\text{ }s\Rightarrow {{x}_{2}}=-2\text{ }cm \\\end{align} \right. \)
Khoảng thời gian \( \Delta t={{t}_{2}}-{{t}_{1}}=4-0=4\text{ }s \)
Độ dời trong khoảng thời gian đó là \( \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=-2-0=-2\text{ }cm \)
⇒ Vận tốc trung bình: \( {{v}_{tb}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-2}{4}=-0,5\text{ }cm/s \)
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó:
\( \Delta s=\Delta {{s}_{0\to 1s}}+\Delta {{s}_{1\to 2s}}+\Delta {{s}_{2\to 2,5s}}+\Delta {{s}_{2,5\to 4s}} \) \( =\left| 4-0 \right|+\left| 0-4 \right|+\left| -2-0 \right|+\left| -2-(-2) \right|=10\text{ }cm \)
⇒ Tốc độ trung bình \( \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{10}{4}=2,5\text{ }cm/s \)
+ Lúc \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}=1\text{ }s\Rightarrow {{x}_{1}}=4\text{ cm} \\& {{t}_{2}}=5\text{ }s\Rightarrow {{x}_{2}}=0\text{ }cm \\\end{align} \right. \)
Khoảng thời gian \( \Delta t={{t}_{2}}-{{t}_{1}}=5-1=4\text{ }s \)
Độ dời trong khoảng thời gian đó là \( \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}} \) \( =0-4=-4\text{ }cm \)
⇒ Vận tốc trung bình: \( {{v}_{tb}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{-4}{4}=-1\text{ }cm/s \)
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó:
\( \Delta s=\Delta {{s}_{1\to 2s}}+\Delta {{s}_{2\to 2,5s}}+\Delta {{s}_{2,5\to 4s}}+\Delta {{s}_{4\to 5s}} \) \( =\left| 0-4 \right|+\left| -2-0 \right|+\left| -2-(-2) \right|+\left| 0-(-2) \right|=8\text{ }cm \)
⇒ Tốc độ trung bình \( \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{8}{4}=2\text{ }cm/s \)
+ Lúc \( \left\{ \begin{align}& {{t}_{1}}=0\text{ }s\Rightarrow {{x}_{1}}=0\text{ cm} \\& {{t}_{2}}=5\text{ }s\Rightarrow {{x}_{2}}=0\text{ }cm \\\end{align} \right. \)
Khoảng thời gian \( \Delta t={{t}_{2}}-{{t}_{1}}=5-0=5\text{ }s \)
Độ dời trong khoảng thời gian đó là \( \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}}=0-0=0\text{ }cm \)
⇒ Vận tốc trung bình: \( {{v}_{tb}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{0}{5}=0\text{ }cm/s \)
Quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó:
\( \Delta s=\Delta {{s}_{0\to 1s}}+\Delta {{s}_{1\to 2s}}+\Delta {{s}_{2\to 2,5s}}+\Delta {{s}_{2,5\to 4s}}+\Delta {{s}_{4\to 5s}} \) \( =\left| 4-0 \right|+\left| 0-4 \right|+\left| -2-0 \right|+\left| -2-(-2) \right|+\left| 0-(-2) \right|=12\text{ }cm \)
⇒ Tốc độ trung bình \( \bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{12}{5}=2,4\text{ }cm/s \).
