Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
8.1. Thuyết Maxwell về điện từ trường
Ta biết rằng, khi điện tích đứng yên thì xung quanh điện tích có điện trường; khi điện tích chuyển động có hướng sẽ tạo nên dòng điện, khi đó xung quanh điện tích có cả từ trường. Giả sử có một điện tích q đứng yên đối với người quan sát A thì người A sẽ quan sát thấy điện trường xung quanh điện tích q. Đối với người quan sát B chuyển động so với người quan sát A sẽ thấy điện tích q chuyển động có hướng, nghĩa là quan sát thấy xung quanh điện tích q tồn tại cả điện trường và từ trường.
Như vậy, điện trường và từ trường thông tồn tại độc lập mà có mối liên hệ mật thiết với nhau. Maxwell là người đầu tiên nêu lên rằng, điện trường và từ trường là hai mặt của một trường thống nhất gọi là trường điện từ. Ông đã xây dựng nên lý thuyết tổng quát về điện, từ trường – gọi thuyết điện từ. Nội dụng của thuyết điện từ được thể hiện ở hai luận điểm dưới đây.
1. Luận điểm Maxwell thứ nhất – Điện trường xoáy
Xét vòng dây đứng yên trong từ trường biến thiên theo thời gian. Từ thông qua vòng dây đó biến thiên làm trong mạch xuất hiện dòng điện cảm ứng. Sự xuất hiện dòng điện cảm ứng, chứng tỏ trong mạch phải tồn tài một trường lực lạ tác dụng lên electron tự do trong vòng dây làm chúng chuyển động có hướng. Maxwell cho rằng, lực lạ ở đây không hề liên quan đến các quá trình cơ học, nhiệt học hay hóa học, cũng không phải là lực từ, vì lực từ không tác dụng lên các điện tích đứng yên; trường lực lạ ở đây chính là điện trường. Nhưng điện trường này không phải là điện trường tĩnh, vì như ta đã biết, điện trường tĩnh không thể làm di chuyển điện tích theo mạch kín được. Maxwell cho rằng điện trường đó phải là có các đường sức điện kín, bao quanh các đường sức từ, gọi là điện trường xoáy (hình 6.1).
Lưu số của vectơ cường độ điện trường xoáy \( \overrightarrow{E} \) dọc theo một đường cong kín (C) nào đó, nói chung là khác không.
Mạch điện kín không phải là nguyên nhân gây ra điện trường xoáy, mà nó chỉ là phương tiện giúp ta nhận biết sự tồn tại của điện trường xoáy. Nguyên nhân gây ra điện trường xoáy chính là sự biến thiên của từ trường. Từ đó Maxwell đã phát biểu thành một luận điểm tổng quát, gọi là luận điểm Maxwell thứ nhất: “Bất kì một từ trường nào biến thiên theo thời gian cũng sinh ra một điện trường xoáy”.
Dựa vào định luật Faraday về hiện tượng cảm ứng điện từ, Maxwell đã xây dựng một phương trình diễn tả định lượng luận điểm thứ nhất của mình:
\( \oint\limits_{(C)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{\ell }}=-\int\limits_{(S)}{\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}d\overrightarrow{S}} \) (6.1)
Phương trình (6.1) được gọi là phương trình Maxwell – Faraday ở dạng tích phân. Nó diễn tả đặc tính xoáy của điện trường. Trong đó, vế phải thể hiện tốc độ biến thiên của từ thông qua diện tích S; vế trái là lưu số của vectơ cường độ điện trường xoáy dọc theo chu tuyến (C) bao quanh S.
Vậy, lưu số của vectơ cường độ điện trường xoáy dọc theo một đường cong kín bất kì bằng về giá trị tuyệt đối nhưng trái dấu với tốc độ biến thiên theo thời gian của từ thông gởi qua điện tích giới hạn bởi đường cong kín đó.
Ở dạng vị phân, phương trình Maxwell – Faraday có dạng:
\( rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \) (6.2)
Trong đó, \( rot\overrightarrow{E} \) là một toán tử vi phân. Trong hệ tọa độ Descartes, vectơ \( rot\overrightarrow{E} \) có các thành phần được xác định bởi định thức:
\( rot\overrightarrow{E}=\left| \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z} \\ {{E}_{x}} & {{E}_{y}} & {{E}_{z}} \\\end{matrix} \right| \) (6.3)
Do đó (6.3) tương đương với hệ ba phương trình đại số:
\(\left\{ \begin{align} & \frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial z}=-\frac{\partial{{B}_{x}}}{\partial t} \\ & \frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial z}-\frac{\partial {{E}_{z}}}{\partial x}=-\frac{\partial{{B}_{y}}}{\partial t} \\ & \frac{\partial {{E}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{E}_{x}}}{\partial y}=-\frac{\partial{{B}_{z}}}{\partial t} \\ \end{align} \right.\) (6.4)
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Bồi dưỡng HSG Vật lý các cấp, luyện thi vào lớp 10 Chuyên, ôn thi ĐH-CĐ
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
2. Luận điểm Maxwell thứ hai – Dòng điện dịch
Ở luận điểm thứ nhất, Maxwell cho rằng mọi từ trường biến thiên đều sinh ra điện trường xoáy. Phân tích các hiện tượng điện từ khác Maxwell khẳng định phải có điều ngược lại: “Mọi điện trường biến thiên theo thời gian đều làm xuất hiện từ trường” – luận điểm thứ hai của Maxwell.
Vì từ trường là dấu hiệu cơ bản nhất và tất yếu của mọi dòng điện, nên nếu sự biến thiên của điện trường tạo ra từ trường thì sự biến thiên của điện trường đó có tác dụng như một dòng điện. Maxwell gọi đó là dòng điện dịch, để phân biệt với dòng điện dẫn – là dòng chuyển dời có hướng của các điện tích tự do.
Dòng điện dịch có tính chất cơ bản giống dòng điện dẫn ở chỗ nó gây ra từ trường. Nhưng nó không giống dòng điện dẫn về bản chất: dòng điện dẫn là do sự chuyển dời có hướng của các điện tích tự do trong một môi trường dẫn nào đó; còn dòng điện dịch là do sự biến thiên của điện trường sinh ra, không phải sự dịch chuyển có hướng của các điện tích. Vì thế, khác với dòng điện dẫn, dòng điện dịch có thể tồn tại ngay cả trong các môi trường không có điện tích tự do như trong điện môi hoặc trong chân không; dòng điện dịch không có tác dụng nhiệt Joule – Lenz như dòng điện dẫn.
Để hình dung về dòng điện dịch, ta xét một mạch điện xoay chiều gồm tụ điện C mắc nối tiếp với một bóng đèn như hình 6.2. Đèn sáng bình thường, điều này có phải dòng điện đã chạy qua tụ điện không? Không phải! Do tụ điện liên tục phóng điện và nạp điện nên trong dây dẫn và đèn luôn tồn tại dòng điện dẫn xoay chiều. Còn giữa hai bản tụ điện, mạch hở nên không có dòng điện dẫn. Nhưng hiệu điện thế giữa hai bản tụ luôn biến thiên làm điện trường trong lòng tụ biến thiên, sinh ra dòng điện dịch. Như vậy dòng điện dẫn trong dây dẫn của mạch điện đạ được đóng kín bằng dòng điện dịch trong lòng tụ điện.
Với giả thuyết về dòng điện dịch, bằng cách vận dụng định lí Ampère về lưu thông của vectơ cường độ từ trường, Maxwell đã thiết lập được biểu thức định lượng cho luận điểm thứ hai của mình:
\( \oint\limits_{(C)}{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{\ell }}=\int\limits_{(S)}{\left( \overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \right)d\overrightarrow{S}} \) (6.5)
Phương trình (6.5) được gọi là phương trình Maxwell – Ampère ở dạng tích phân; trong đó \( \overrightarrow{j} \) là mật độ dòng điện dẫn, \( \frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \) là mật độ dòng điện dịch; vế phải biểu diễn cường độ dòng điện toàn phần (gồm dòng điện dẫn và dòng điện dịch) chạy qua tiết diện S; vế trái là lưu thông của vectơ cường độ từ trường dọc theo chu tuyến (C) bao quanh S.
Ở dạng vi phân, phương trình Maxwell – Ampère có dạng:
\( rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \) (6.6)
Trong hệ tọa độ Descartes, phương trình (6.6) tương đương với hệ ba phương trình đại số: \( \left\{ \begin{align} & \frac{\partial {{H}_{z}}}{\partial y}-\frac{\partial {{H}_{y}}}{\partial z}={{j}_{x}}+\frac{\partial {{D}_{z}}}{\partial t} \\ & \frac{\partial {{H}_{x}}}{\partial z}-\frac{\partial {{H}_{z}}}{\partial x}={{j}_{y}}+\frac{\partial {{D}_{y}}}{\partial t} \\ & \frac{\partial {{H}_{y}}}{\partial x}-\frac{\partial {{H}_{x}}}{\partial y}={{j}_{z}}+\frac{\partial {{D}_{z}}}{\partial t} \\ \end{align} \right. \) (6.7)
3. Hệ phương trình Maxwell
Theo các luận điểm của Maxwell, từ trường biến thiên sinh ra điện trường xoáy và ngược lại. Mà sự biến thiên của từ trường là bất kì, nên trong trường hợp tổng quát, đạo hàm \( \frac{\partial \overrightarrow{H}}{\partial t} \) của biến thiên theo thời gian, do đó điện trường xoáy xuất hiện cũng biến thiên theo thời gian và nó lại gây ra một từ trường biến thiên ….
Như vậy, điện trường và từ trường chuyển hóa qua lại lẫn nhau. Chúng tồn tại đồng thời trong không gian tạo thành trường thống nhất gọi là trường điện từ.
Khái niệm về trường điện từ được Maxwell nêu lên đầu tiên. Các phương trình mô tả sự biến thiên cảu điện trường và từ trường và mối quan hệ giữa chúng gọi là các phương trình Maxwell hay hệ phương trình Maxwell.
Các phương trình Maxwell ở dạng vi phân:
\( rot\overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t} \) (6.8a)
\(rot\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}\) (6.9a)
\( div\overrightarrow{D}=\rho \) (6.10a)
\( div\overrightarrow{B}=0 \) (6.11a)
Các phương trình Maxwell ở dạng tích phân:
\( \oint\limits_{(C)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{\ell }}=-\int\limits_{(S)}{\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}.d\overrightarrow{S}} \) (6.8b)
\( \oint\limits_{(C)}{\overrightarrow{H}d\overrightarrow{\ell }}=\int\limits_{(S)}{\left( \overrightarrow{j}+\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t} \right).d\overrightarrow{S}} \) (6.9b)
\( \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}}=\sum{q} \) (6.10b)
\( \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{B}d\overrightarrow{S}}=0 \) (6.11b)
Phương trình (6.8a) và (6.8b) là phương trình Maxwell – Faraday ở dạng vi phân và tích phân, diễn tả luận điểm thứ nhất của Maxwell về mối liên hệ giữa từ trường biến thiên và điện trường xoáy. Phương trình (6.9a) và (6.9b) là phương trình Maxwell – Ampère ở dạng vi phân và tích phân, diễn tả luận điểm thứ hai của Maxwell về mối liên hệ giữa điện trường biến thiên và từ trường. Các phương trình (6.10a), (6.10b) và (6.11a), (6.11b) diễn tả định lí Ostrogradsky – Gauss ở dạng vi phân, tích phân đối với điện trường và từ trường.
Ngoài các phương trình cơ bản trên, còn có các phương trình diễn tả mối quan hệ giữa các đại lượng đặc trưng cho trường ( \( \overrightarrow{E},\overrightarrow{D},\overrightarrow{B},\overrightarrow{H} \)) với các đại lượng đặc trưng cho tính chất của môi trường ( \( \mu ,\varepsilon ,\sigma \)):
+ Môi trường điện môi: \( \overrightarrow{D}=\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\overrightarrow{E} \) (6.12)
+ Môi trường điện dẫn: \( \overrightarrow{j}=\sigma \overrightarrow{E} \) (6.13)
+ Môi trường từ hóa: \( \overrightarrow{B}=\mu {{\mu }_{0}}\overrightarrow{H} \) (6.14)
Trong các phương trình Maxwell, các đại lượng đặc trưng cho trường đều là các đại lượng biến thiên theo tọa độ và thời gian. Nói cách khác, chúng là hàm của x, y, z, t.
Hệ phương trình Maxwell bao hàm tất cả các định luật cơ bản về điện và từ. Trường tĩnh điện, trường tĩnh từ và sóng điện từ chỉ là những trường hợp riêng của điện từ trường mà thôi.
4. Ý nghĩa của thuyết Maxwell
Lý thuyết trường điện từ của Maxwell thống nhất giữa điện trường và từ trường (công bố vào những năm đầut hập niên 60 của thế kỉ XIX), là một bước phát triển hoàn thiệt những hiểu biết của con người về điện, từ. Trước đó, những hiểu biết của con người về điện, từ còn rời rạc; người ta quan niệm rằng điện và từ là hai lĩnh vực không liên quan nhau. Maxwell đã phát triển các ý tưởng của Faraday về điện, từ một cách sâu sắc và đã xây dựng lý thuyết thống nhất giữa điện và từ – lý thuyết trường điện từ – một cách hoàn hảo.
Thuyết Maxwell không những giải thích triệt để các hiện tượng điện từ đã biết mà nó còn cho phép tiên đoán sự tồn tại của sóng điện từ mà hơn 20 năm sau thực nghiệm mới xác lập được. Nghiên cứu bằng lý thuyết về các tính chất của sóng điện từ, Maxwell đã khẳng định ánh sáng cũng là sóng điện từ.
Với những đóng góp to lớn của mình, Maxwell được đánh giá là một trong những nhà vật lý đi tiên phong, mở ra bước ngoặc trong lịch sử nhận thức của nhân loại.
