Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
1.2. Vận tốc và gia tốc trong chuyển động tròn
A. Lý Thuyết
Chúng ta sẽ tìm hiểu về phần “Vận tốc và gia tốc trong chuyển động tròn”. Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo là một đường tròn. Khi chất điểm chuyển động tròn quanh tâm O, ta còn nói: “chất điểm quay quanh trục đi qua O”.
1) Chuyển động tròn – Các biến số góc
+ Chuyển động tròn là chuyển động có quỹ đạo tròn
+ Các biến số góc:
- \( \varphi \): tọa độ góc
- \( \theta \): góc quay
- \( \omega \): vận tốc góc
- \( \beta \): gia tốc góc
+ Nếu tại thời điểm \( {{t}_{0}} \) chất điểm ở vị trí \( {{M}_{0}} \) có tọa độ góc \( {{\varphi }_{0}} \)và tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M có tọa độ góc \( \varphi \) thì góc mà chất điểm đã quay là: \( \theta =\varphi -{{\varphi }_{0}} \) và quãng đường mà nó đã đi là: \( s=\theta .R \).
So sánh các biến số giữa chuyển động thẳng và tròn:
Chuyển động thẳng | Chuyển động tròn |
Tọa độ: x | Tọa độ góc: \( \varphi \) |
Quãng đường: s | Góc quay: \( \theta \) |
Vận tốc: v | Vận tốc góc: \( \omega \) |
Gia tốc: a | Gia tốc góc: \( \beta \) |
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
2) Tốc độ góc hay vận tốc góc
+ Tốc độ góc trung bình: \( {{\omega }_{tb}}=\frac{\theta }{t} \)
+ Tốc độ góc tức thời: \( \omega =\frac{d\theta }{dt}=\frac{d\varphi }{dt}=\theta’=\varphi’ \)
+ Vectơ \( v \) có:
- Phương: vuông góc mặt phẳng quỹ đạo
- Chiều: theo quy tắc đinh ốc hoặc nắm tay phải.
- Độ lớn: đạo hàm của góc quay: \( \omega =\theta’ \)
- Điểm đặt: tại tâm quỹ đạo.
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
3) Vận tốc dài
+ Quan hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài: \( \vec{v}=\left[ \vec{\omega },\overrightarrow{R} \right]\Rightarrow v=\omega R \)
+ Quan hệ giữa vận tốc góc và gia tốc pháp tuyến: \( {{a}_{n}}=\frac{{{v}^{2}}}{R}={{\omega }^{2}}R \)
+ Tính góc quay: \( \theta =\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{\omega dt={{\omega }_{tb}}.\Delta t} \)
4) Gia tốc góc
+ Định nghĩa: Gia tốc góc là đại lượng đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc góc, đo bằng độ biến thiên của vectơ vận tốc góc trong một đơn vị thời gian.
+ Gia tốc góc trung bình: \( {{\vec{\beta }}_{tb}}=\frac{\Delta \vec{\omega }}{\Delta t}=\frac{{{{\vec{\omega }}}_{2}}-{{{\vec{\omega }}}_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}} \)
+ Gia tốc góc tức thời: \( \vec{\beta }=\frac{d\vec{\omega }}{dt}=\left( {\vec{\omega }} \right)’ \)
+ Vectơ \( \vec{\beta } \) có:
- Phương: song song hoặc trùng \( \vec{\omega } \)
- Chiều: Nếu \( \vec{\beta }\uparrow \uparrow \vec{\omega } \) thì chuyển động tròn nhanh dần, còn nếu \[\vec{\beta }\uparrow \downarrow \vec{\omega }\] thì chuyển động tròn chậm dần
- Độ lớn: \( {{\beta }_{tb}}=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\frac{{{\omega }_{2}}-{{\omega }_{1}}}{{{t}_{2}}-{{t}_{1}}} \) và \( \beta =\frac{d\omega }{dt}=\omega’ \) (đơn vị trong SI: \( rad/{{s}^{2}} \))
- Điểm đặt: tại tâm quỹ đạo
+ Quan hệ giữa gia tốc góc và gia tốc tiếp tuyến:
\( {{a}_{t}}=\frac{dv}{dt}=\frac{d\left( \omega R \right)}{dt}=\frac{d\omega }{dt}.R=\beta R \)
Vì các vectơ \( {{\vec{a}}_{t}},\vec{\beta },\vec{R} \) đôi một vuông góc nhau nên: \( {{\vec{a}}_{t}}=\left[ \vec{\beta },\vec{R} \right] \).
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. Một vật chuyển động tròn quanh điểm cố định O với góc quay \( \theta \) là hàm của vận tốc góc \( \omega \): \( \theta =\frac{{{\omega }_{0}}-\omega }{a} \). Trong đó \( {{\omega }_{0}} \) và a là các hằng số dương. Lúc t = 0 thì \( \omega ={{\omega }_{0}} \). Tìm \( \theta (t) \) và \( \omega (t) \).
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \theta =\frac{{{\omega }_{0}}-\omega }{a}\Leftrightarrow \omega ={{\omega }_{0}}-a\theta =\frac{d\theta }{dt} \)
\( \Rightarrow \frac{d\theta }{{{\omega }_{0}}-a\theta }=dt \)
Lấy tích phân hai vế: \( \int\limits_{0}^{\theta }{\frac{d\theta }{{{\omega }_{0}}-a\theta }d\theta =\int\limits_{0}^{t}{dt}} \)
\( \Leftrightarrow \left. -\frac{1}{a}\ln \left| {{\omega }_{0}}-a\theta \right| \right|_{0}^{\theta }=\left. t \right|_{0}^{t} \)
\( \Leftrightarrow \ln \frac{{{\omega }_{0}}-a\theta }{{{\omega }_{0}}}=-at\Leftrightarrow \frac{{{\omega }_{0}}-a\theta }{{{\omega }_{0}}}={{e}^{-at}} \)
\( \Rightarrow \theta =\left( 1-{{e}^{-at}} \right)\frac{{{\omega }_{O}}}{a} \)
\( \Rightarrow \omega ={{\omega }_{0}}-a\theta ={{\omega }_{0}}-a.\left( 1-{{e}^{-at}} \right)\frac{{{\omega }_{0}}}{a}={{\omega }_{0}}{{e}^{-at}} \)
Vậy \( \theta (t)=\left( 1-{{e}^{-at}} \right)\frac{{{\omega }_{0}}}{a} \) và \( \omega (t)={{\omega }_{0}}{{e}^{-at}} \)
Câu 2. Một chất điểm quay tròn quanh một trục cố định. Phương trình chuyển động có dạng: \( \varphi =6t-2{{t}^{3}} \). Hãy xác định vận tốc góc, gia tốc góc lúc t = 0 và lúc chất điểm dừng lại. Tính giá trị trung bình của vận tốc góc, gia tốc góc trong khoảng thời gian đó.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \omega ={\varphi }’=6-6{{t}^{2}} \), \( \beta ={\omega }’=-12t \).
+ Lúc t = 0 thì \( {{\omega }_{0}}=6\text{ }rad/s \), \( {{\beta }_{0}}=0\text{ }rad/{{s}^{2}} \).
+ Lúc dừng: \( \omega =0\Rightarrow t=1s\Rightarrow \beta ={{\beta }_{t=1}}=-12\text{ }rad/{{s}^{2}} \)
Góc mà chất điểm đã quay: \( \theta =\int\limits_{0}^{1}{\omega dt}=\int\limits_{0}^{1}{\left( 6-6{{t}^{2}} \right)dt}=4\text{ }rad \)
+ Vận tốc góc trung bình: \( {{\omega }_{tb}}=\frac{\theta }{\Delta t}=\frac{4}{1}=4\text{ }rad/s \)
+ Gia tốc trung bình: \( {{\beta }_{tb}}=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\frac{0-6}{1}=-6\text{ }rad/{{s}^{2}} \)
Câu 3. Một chất điểm sau khi được truyền cho một vận tốc góc ban đầu \( {{\omega }_{0}} \) (ứng với t = 0) quay chậm dần quanh một trục cố định với gia tốc góc tức thời \( \beta \) phụ thuộc vào vận tốc góc tức thời \( \omega \) theo quy luật \( \beta =-2k\sqrt{\omega } \) trong đó k là hằng dương. Tính vận tốc góc tức thời, gia tốc góc tức thời (như hàm của t), vận tốc góc trung bình và gia tốc góc trung bình trong một thời gian chuyển động của chất điểm.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( \frac{d\omega }{dt}=\beta =-2k\sqrt{\omega } \) \( \Rightarrow \frac{d\omega }{\sqrt{\omega }}=-2kdt \)
Lấy tích phân hai vế, ta được:
\( \int\limits_{{{\omega }_{0}}}^{\omega }{\frac{d\omega }{\sqrt{\omega }}}=-2k\int\limits_{0}^{t}{dt}\Leftrightarrow 2\left. \sqrt{\omega } \right|_{{{\omega }_{0}}}^{\omega }=\left. -2kt \right|_{0}^{t} \)
\( \Rightarrow \sqrt{\omega }-\sqrt{{{\omega }_{0}}}=-kt\Leftrightarrow \sqrt{\omega }=\sqrt{{{\omega }_{0}}}-kt \)
+ Vận tốc góc tức thời: \( \omega ={{\omega }_{0}}-2\sqrt{{{\omega }_{0}}}kt+{{k}^{2}}{{t}^{2}} \)
+ Gia tóc góc tức thời:
\( \beta =\frac{d\omega }{dt}={\omega }’=-2\sqrt{{{\omega }_{0}}}k+2{{k}^{2}}t=2k\left( kt-\sqrt{{{\omega }_{0}}} \right) \)
Ta lại có: \( \omega =\frac{d\theta }{dt}\Rightarrow d\theta =\omega dt \)
\( \Rightarrow \int\limits_{0}^{\theta }{d\theta }=\int\limits_{0}^{t}{\omega dt}=\int\limits_{0}^{t}{\left( {{\omega }_{0}}-2\sqrt{{{\omega }_{0}}}kt+{{k}^{2}}{{t}^{2}} \right)dt} \)
\( \Rightarrow \theta (t)={{\omega }_{0}}t-\sqrt{{{\omega }_{0}}}k{{t}^{2}}+\frac{1}{3}{{k}^{2}}{{t}^{3}} \)
Kí hiệu T là thời điểm chất điểm ngừng quay ( \( \omega =0 \)), từ hệ thức \( \sqrt{\omega }-\sqrt{{{\omega }_{0}}}=-kt \), ta có:
\( 0-\sqrt{{{\omega }_{0}}}=-kT\Rightarrow T=\frac{\sqrt{{{\omega }_{0}}}}{k} \)
+ Vận tốc góc trung bình trong thời gian \( \Delta t=T-0=T \):
\( {{\omega }_{tb}}=\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{{{\omega }_{0}}T-\sqrt{{{\omega }_{0}}}k{{T}^{2}}+\frac{1}{3}{{k}^{2}}{{T}^{3}}}{T} \)
\( ={{\omega }_{0}}-\sqrt{{{\omega }_{0}}}kT+\frac{1}{3}{{k}^{2}}{{T}^{2}} \)
\( ={{\omega }_{0}}-\sqrt{{{\omega }_{0}}}k.\frac{\sqrt{{{\omega }_{0}}}}{k}+\frac{1}{3}{{k}^{2}}{{\left( \frac{\sqrt{{{\omega }_{0}}}}{k} \right)}^{2}} \)
\( ={{\omega }_{0}}-{{\omega }_{0}}+\frac{1}{3}{{\omega }_{0}}=\frac{1}{3}{{\omega }_{0}} \)
+ Gia tốc góc trung bình:
\( {{\beta }_{tb}}=\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\frac{\omega T-{{\omega }_{0}}}{T} \)
\( =\frac{{{\omega }_{0}}-2\sqrt{{{\omega }_{0}}}kT+{{k}^{2}}{{T}^{2}}-{{\omega }_{0}}}{T} \)
\( =-2\sqrt{{{\omega }_{0}}}k+{{k}^{2}}T=-2\sqrt{{{\omega }_{0}}}k+{{k}^{2}}\frac{\sqrt{{{\omega }_{0}}}}{k}=-k\sqrt{{{\omega }_{0}}} \)
