Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương

Xét một phân tử khí chuyển động với vận tốc  \( {{\vec{v}}_{i}} \) đến va vào thành bình. Do va chạm là đàn hồi, nên sau va chạm, vận tốc của nó là  \( {{\overrightarrow{v’}}_{i}} \) đối xứng với  \( {{\overrightarrow{v}}_{i}} \) qua mặt tiếp xúc (thành phần tiếp tuyến không đổi). Độ biến thiên động lượng của phân tử khí đó là:

 \( d{{\overrightarrow{p}}_{i}}={{\overrightarrow{p’}}_{i}}-{{\overrightarrow{p}}_{i}}=m{{\overrightarrow{v’}}_{i}}-m{{\overrightarrow{v}}_{i}} \)

Độ biến thiên động lượng theo phương Ox:  \( d{{p}_{ix}}=m\left( v{{‘}_{ix}}-{{v}_{ix}} \right)=2m{{v}_{ix}} \). Suy ra, áp lực vuông góc mà phân tử khí này tác dụng lên thành bình là:  \( {{f}_{ix}}=\left| \frac{d{{p}_{ix}}}{dt} \right|=\frac{2m{{v}_{ix}}}{dt} \).

Gọi n_i là nồng độ (mật độ) các phân tử khí chuyển động theo phương Ox với vận tốc v_ix thì nồng độ các phân tử đi theo chiều dương là  \( \frac{{{n}_{i}}}{2} \). Suy ra, số hạt N_i chuyển động với vận tốc v_ix đến đập vuông góc vào thành bình trong thời gian dt phải nằm trong hình trụ có đáy là  \( \Delta S  \), chiều cao là {{v}_{ix}}.dt. Ta có:  \( {{N}_{i}}=\frac{{{n}_{i}}}{2}V=\frac{{{n}_{i}}}{2}.\Delta S.{{v}_{ix}}dt  \).

 \( \Rightarrow  \) Áp lực do các phân tử này tác dụng vào thành bình là:  \( {{F}_{ix}}={{N}_{i}}{{f}_{ix}}=m.{{n}_{i}}.\Delta S.v_{ix}^{2} \)

 \( \Rightarrow  \) Áp lực của tất cả các phân tử khí chuyển động với vận tốc vx khác nhau đến va vào thành bình trong thời gian dt là:  \( {{F}_{x}}=\sum{{{F}_{ix}}}=\Delta S\sum{m.{{n}_{i}}.v_{ix}^{2}} \)

 \( \Rightarrow  \) Áp suất khí gây ra theo hướng Ox là:  \( {{p}_{x}}=\frac{{{F}_{x}}}{\Delta S}=\sum{m.{{n}_{i}}.v_{ix}^{2}} \)

Tương tự, ta cũng có áp suất theo các hướng Oy, Oz:  \( {{p}_{y}}=\sum{m.{{n}_{i}}.v_{iy}^{2}} \);  \( {{p}_{z}}=\sum{m.{{n}_{i}}.v_{iz}^{2}} \)

Do tính hỗn loạn (không có hướng ưu tiên), nên  \( {{p}_{x}}={{p}_{y}}={{p}_{z}}=p  \)

 \( \Rightarrow p=\frac{1}{3}\left( {{p}_{x}}+{{p}_{y}}+{{p}_{z}} \right)=\frac{1}{3}\sum{m.{{n}_{i}}\left( v_{ix}^{2}+v_{iy}^{2}+v_{iz}^{2} \right)}=\frac{1}{3}\sum{m.{{n}_{i}}v_{i}^{2}} \)

 \( \Rightarrow p=\frac{2}{3}\sum{{{n}_{i}}\frac{mv_{i}^{2}}{2}}=\frac{2}{3}\sum{{{n}_{i}}{{w}_{i\text{đ}}}} \)

Gọi  \( {{\bar{w}}_{\text{đ}}} \) là động năng trung bình của các phân tử khí, ta có:

 \( {{\bar{w}}_{\text{đ}}}=\frac{\sum{{{n}_{i}}{{w}_{i\text{đ}}}}}{\sum{{{n}_{i}}}}=\frac{\sum{{{n}_{i}}{{w}_{i\text{đ}}}}}{n}\Rightarrow\sum{{{n}_{i}}{{w}_{i\text{đ}}}}=n{{\bar{w}}_{\text{đ}}} \)

Vậy:  \( p=\frac{2}{3}n{{\bar{w}}_{\text{đ}}} \)

Trong đó:  \( n=\sum{{{n}_{i}}} \) là nồng độ (hay mật độ) phân tử khí – chính là số phân tử khí trong một đơn vị thể tích. Trong hệ SI, nồng độ khí có đơn vị (m^-3);  \( {{\bar{w}}_{\text{đ}}} \) là động năng trung bình của các phân tử khí; p là áp suất của khí.

Phương trình (7.1) là phương trình cơ bản của Thuyết Động Học Phân Tử. Nó cho thấy mối quan hệ giữa áp suất (đại lượng vĩ mô) – đặc trưng cho tác dụng tập thể của các phân tử – với mật độ và động năng trung bình của các phân tử khí (các đại lượng vi mô) – đặc trưng cho phân tử và chuyển động của phân tử.

Phương trình (7.1) chỉ rõ cơ chế vi mô của áp suất chất khí tác dụng lên thành bình và phản ánh một cách tường minh các quan điểm cơ bản của Thuyết Động Học Phân Tử.

Phương trình (7.1) có tính thống kê. Các đại lượng trong (7.1) là các đại lượng thống kê. Ta chỉ có thể nói tới áp suất và động năng trung bình của một tập hợp rất lớn các phân tử; không thể nó tới áp suất và động năng của một hoặc một số ít phân tử.