Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
3.3. Chuyển động của vật rắn
A. Lý Thuyết
Trong chương 1, chúng ta đã nghiên cứu tính chất các chuyển động của chất điểm. Vật rắn có những chuyển động riêng và trong mỗi dạng chuyển động, có những tính chất đặc trưng riêng. Trong chương này chỉ nghiên cứu chuyển động song phẳng của vật rắn, nghĩa là trong quá trình chuyển động, mỗi điểm trên vật rắn luôn có quỹ đạo nằm trong một mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định.
1) Vật rắn tịnh tiến
Chuyển động của vật rắn được gọi là là tịnh tiến nếu một đoạn thẳng nối hai điểm bất kì trên vật rắn luôn song song với chính nó (có phương không đổi).
Xét điểm M bất kì trên vật rắn và khối tâm G của vật rắn. Chọn điểm O làm gốc tọa độ, theo quy tắc 3 điểm ta có:
\( \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GM} \) hay \( {{\vec{r}}_{M}}={{\vec{r}}_{G}}+\overrightarrow{GM} \)
Suy ra: \(\frac{d{{{\vec{r}}}_{M}}}{dt}=\frac{d{{{\vec{r}}}_{G}}}{dt}+\frac{d\overrightarrow{GM}}{dt}\)
Vì vật rắn tịnh tiến nên vectơ \( \overrightarrow{GM} \) không đổi. Do đó, \(\frac{d\overrightarrow{GM}}{dt}=\vec{0}\).
Vậy: \( \frac{d{{{\vec{r}}}_{M}}}{dt}=\frac{d{{{\vec{r}}}_{G}}}{dt} \) hay \( {{\vec{v}}_{M}}={{\vec{v}}_{G}} \) (3.23)
Khi vật rắn tịnh tiến thì mọi điểm trong vật rắn đều vạch ra các quỹ đạo giống nhau với cùng một vận tốc bằng với vận tốc của khối tâm. Do đó, chuyển động của vật rắn trong trường hợp này được quy về chuyển động của khối tâm. Nói cách khác, toàn bộ vật rắn được coi như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng toàn vật rắn đặt tại khối tâm G.
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
2) Vật rắn quay quanh một trục cố định
Khi vật rắn quay quanh trục cố định ( \( \Delta \)) với vận tốc góc \( \omega \) thì mọi điểm của vật rắn sẽ vạch ra những đường tròn đồng trục \( \Delta \), với cùng một vận tốc góc \( \vec{\omega } \).
Xét một điểm M bất kì trên vật rắn, gọi \( \overrightarrow{R} \) là vectơ bán kính quỹ đạo của M, ta có:
+ Vận tốc dài: \( \vec{v}=\vec{\omega }\times \overrightarrow{R} \) (3.24) và độ lớn: \( v=\omega R \) (3.25)
+ Gia tốc tiếp tuyến: \( {{\vec{a}}_{t}}=\vec{\beta }\times \overrightarrow{R} \) (3.26) và độ lớn \( {{a}_{t}}=\beta \times R \) (3.27)
+ Gia tốc pháp tuyến: \( {{a}_{n}}={{\omega }^{2}}R \) (3.28)
+ Gia tốc toàn phần: \( \vec{a}={{\vec{a}}_{t}}+{{\vec{a}}_{n}} \) (3.29) và độ lớn: \( a=\sqrt{a_{t}^{2}+a_{n}^{2}} \) (3.30)
3) Chuyển động phức tạp của vật rắn
Khi vật rắn có chuyển động phức tạp bất kì (nhưng vẫn là song phẳng), ta có thể phân tích thành hai chuyển động đồng: tịnh tiến và quay. Để chứng minh điều này, ta xét 2 điểm bất kì M và N trên vật rắn và chọn điểm O làm gốc tọa độ. Theo quy tắc 3 điểm, ta có: \( \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NM} \) hay \( {{\vec{r}}_{M}}={{\vec{r}}_{N}}+\overrightarrow{NM} \). Lấy đạo hàm hai vế theo thời gian, ta có: \( {{\vec{v}}_{M}}={{\vec{v}}_{N}}+\frac{d\overrightarrow{NM}}{dt} \).
Vectơ \( \overrightarrow{NM} \) có độ lớn không đổi, nhưng có phương thay đổi, nên ta có thể tìm được trục quay ( \( \Delta \)) tức thời sao cho \( \overrightarrow{NM} \) quay quanh N với vectơ vận tốc góc \( \vec{\omega } \) thỏa mãn phương trình: \( \frac{d\overrightarrow{NM}}{dt}=\vec{\omega }\times \overrightarrow{R} \) với \( \overrightarrow{R}=\overrightarrow{NM} \) (3.31)
Do đó, ta có thể viết: \( {{\vec{v}}_{M}}={{\vec{v}}_{N}}+\vec{\omega }\times \overrightarrow{R} \) (3.32)
Như vậy: Nếu chọn điểm N là điểm cơ bản thì chuyển động của điểm M (bất kì trên vật rắn) bao gồm hai chuyển động:
+ Tịnh tiến cùng điểm cơ bản N với vận tốc \( {{\vec{v}}_{N}} \);
+ Quay quanh điểm cơ bản vớ vận tốc góc \( \vec{\omega } \).
Khi chọn điểm cơ bản khác nhau thì vận tốc tịnh tiến của điểm M cũng khác nhau nhưng vận tốc góc \( \vec{\omega } \) không thay đổi. Trong các bài toán, ta thường chọn điểm cơ bản là khối tâm của vật rắn. Khi đó (3.32) trở thành:
\( {{\vec{v}}_{M}}={{\vec{v}}_{G}}+\vec{\omega }\times \overrightarrow{R} \) với \( \overrightarrow{R}=\overrightarrow{GM} \) (3.33)
Tóm lại: Chuyển động bất kì của vật rắn luôn có thể phân tích thành hai chuyển động đồng thời: tịnh tiến của điểm cơ bản và quay quanh trục đi qua điểm cơ bản đó. Thông thường, ta chọn điểm cơ bản là khối tâm G của vật rắn.
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. Một dây cuaroa truyền động, vòng qua vô lăng I và bánh xe II. Bán kính vô lăng là R1 = 10 cm; bánh xe là R2 = 50 cm. Vô lăng đang quay với vận tốc 720 vòng/phút thì bị ngắt điện, nó quay chậm dần đều, sau đó 30 giây vận tốc chỉ còn 180 vòng/phút. Tính vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện, số vòng quay của vô lăng và bánh xe trong khoảng thời gian trên. Sau bao lâu, kể từ lúc ngắt điện, hệ thống sẽ dừng? Tính vận tốc góc trung bình của vô lăng và bánh xe trong khoảng thời gian từ lúc ngắt điện đến lúc dừng (dây cuaroa không bị trượt trên vô lăng và bánh xe).
Hướng dẫn giải:
Gọi \( {{\omega }_{1}} \) và \( {{\omega }_{2}} \) là vận tốc góc của vô lăng và bánh xe; \( {{\omega }_{01}} \) và \( {{\omega }_{02}} \) là các vận tốc góc ban đầu của chúng.
Ta có: \( {{\omega }_{01}}=720 \text{vòng/phút} = 24\pi \text{ }rad/s\).
t1 = 30s; \( {{\omega }_{1}}=180 \text{vòng/phút} = 6\pi \text{ }rad/s \).
Vì dây cuaroa không bị trượt trên vô lăng và bánh xe nên các điểm tiếp xúc giữa vô lăng – dây cuaroa, bánh xe – dây cuaroa luôn có cùng vận tốc dài.
Suy ra: \( {{\omega }_{1}}{{R}_{1}}={{\omega }_{2}}{{R}_{2}} \); \( {{\omega }_{01}}{{R}_{1}}={{\omega }_{02}}{{R}_{2}} \)
Vậy vận tốc quay của bánh xe trước khi ngắt điện là:
\( {{\omega }_{02}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}{{\omega }_{01}}=\frac{10}{50}.720=144\text{ vòng/phút }=4,8\pi \text{ rad/s} \)
Gia tốc góc của vô lăng: \( {{\beta }_{1}}=\frac{{{\omega }_{1}}-{{\omega }_{01}}}{{{t}_{1}}}=\frac{6\pi -24\pi }{30}=-0,6\pi \text{ }rad/{{s}^{2}} \)
Góc mà vô lăng đã quay trong thời gian t1 = 30s:
\( {{\theta }_{1}}={{\omega }_{01}}{{t}_{1}}+\frac{1}{2}{{\beta }_{1}}t_{1}^{2}=24\pi .30-0,3\pi {{.30}^{2}}=450\pi \text{ }rad \)
Vậy, vô lăng dẵ quay được N1 = 225 vòng.
Số vòng quay của bánh xe trong thời gian t1 = 30s: \({{N}_{2}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}{{N}_{1}}=45\) vòng.
Ta có: \( {{\omega }_{1}}={{\omega }_{01}}+{{\beta }_{1}}t \). Khi dừng: \( {{\omega }_{1}}=0 \).
Suy ra: \( t=-\frac{{{\omega }_{01}}}{{{\beta }_{1}}}=40\text{ }s \)
Vậy, hệ thống sẽ dừng lại sau 40s kể từ lúc ngắt điện.
Góc mà vô lăng đã quay trong thời gian t = 40s:
\( \theta ={{\omega }_{01}}t+\frac{1}{2}{{\beta }_{1}}{{t}^{2}}=24\pi .40-0,3\pi {{.40}^{2}}=912\pi \text{ }rad \)
Vận tốc góc trung bình của vô lăng: \( {{\omega }_{1tb}}=\frac{\theta }{t}=\frac{912\pi }{40}=22,8\pi \text{ }rad/s \).
Vận tốc góc trung bình của bánh xe: \( {{\omega }_{2tb}}=\frac{{{R}_{1}}}{{{R}_{2}}}{{\omega }_{1tb}}=4,56\pi \text{ }rad/s \).
Câu 2. Bành xe hình đĩa tròn, lăn không trượt trên đường nằm ngang với vận tốc tịnh tiến vO. Xác định vectơ vận tốc, quỹ đạo và quãng đường đi (sau hai lần liên tiếp tiếp xúc với mặt đường) của một điểm bất kì trên vành bánh xe.
Hướng dẫn giải:
Xét điểm M trên vành bánh xe. Chọn hệ trục tọa độ Ox như hình vẽ 3.10.
Gốc tọa độ và gốc thời gian tại vị trí và thời điểm M tiếp xúc với mặt đường.
Do bánh xe lăn không trượt nên vận tốc dài của điểm M có độ lớn bằng với vận tốc tịnh tiến của bánh xe: \( {{v}_{M}}=\omega R={{v}_{G}}={{v}_{0}} \).
Vận tốc của điểm M: \( {{\vec{v}}_{M}}={{\vec{v}}_{G}}+\vec{\omega }\times \overrightarrow{R}={{\vec{v}}_{O}}+\vec{\omega }\times \overrightarrow{R} \) (*)
Chiếu (*) lên các trục tọa độ Ox, Oy ta có:
\( \left\{ \begin{align} & {{v}_{x}}={{v}_{O}}-\omega R\cos \varphi ={{v}_{O}}-{{v}_{O}}\cos \omega t={{v}_{O}}\left( 1-\cos \omega t \right) \\ & {{v}_{y}}=0+\omega R\sin \varphi ={{v}_{O}}\sin \omega t \\ \end{align} \right. \) (3.34)
Trong đó: \( \varphi =\widehat{MGA}=\omega t \) là góc mà điểm M đã quay được trong thời gian t.
Suy ra, độ lớn vận tốc của điểm M: \( {{v}_{M}}=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}={{v}_{O}}\sqrt{2\left( 1-\cos \omega t \right)}={{v}_{O}}\left| \sin \frac{\omega t}{2} \right| \) (3.35)
Nếu ta chọn điểm cơ bản là điểm A thì \( {{\vec{v}}_{M}}=\vec{\omega }\times \overrightarrow{AM} \). Suy ra \( {{\vec{v}}_{M}}\bot \overrightarrow{AM} \).
Vậy phương của \( {{\vec{v}}_{M}} \) luôn đi qua đỉnh D của bánh xe.
(3.34) suy ra phương trình chuyển động của M:
\( \left\{ \begin{align} & x=\int\limits_{0}^{t}{{{v}_{x}}dt}={{v}_{O}}\left( t-\frac{1}{\omega }\sin \omega t \right)={{v}_{O}}t-R\sin \omega t \\ & y=\int\limits_{0}^{t}{{{v}_{y}}dt}=R\left( 1-\cos \omega t \right) \\ \end{align} \right. \) (3.36)
(3.36) biểu diễn đường cong cycloid. Vậy quỹ đạo của M là đường cong cycloid.
Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp điểm M tiếp xúc với mặt đường chính là chu kỳ quay quanh khối tâm: \( T=\frac{2\pi }{\omega } \). Trong khoảng thời gian này, điểm M đã đi được quãng đường: \( s=\int\limits_{0}^{T}{\left| {{{\vec{v}}}_{M}} \right|dt}={{v}_{O}}\int\limits_{0}^{T}{\left| \sin \frac{\omega t}{2} \right|dt}=8R \) (3.37)
