Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương

a) Nhắc lại các công thức định nghĩa về momen quán tính

Momen quán tính đối với trục quay  $\mathrm{\Delta }$ của:

+ Một chất điểm:  $I_{\mathrm{\Delta }}=m{r}^2$   (3.48)

Với r là khoảng cách từ chất điểm đến trục quay; m là khối lượng của chất điểm.

+ Hệ chất điểm:  $I_{\mathrm{\Delta }}=\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2$   (3.49)

Với m_i là khối lượng của chất điểm thứ i; r_i là khoảng cách chất điểm thứ i đến trục  $\mathrm{\Delta }$.

+ Vật rắn:  $I_{\mathrm{\Delta }}=\underset{\text{vật rắn }}{\int }{r}^{2}dm$   (3.50)

Với r là khoảng cách từ yếu tố khối lượng dm đến trục.

Tùy theo phân bố của vật rắn mà dm có thể tính theo (3.4), (3.7) hay (3.9).

b) Momen quán tính của một số vật rắn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay  $\mathrm{\Delta }$ đi qua khối tâm G.

Ví dụ 1: Tính momen quán tính của hình trụ rỗng, thành mỏng hay vành tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nó.

Hướng dẫn giải:

Chia bề mặt hình trụ làm nhiều phần, có dạng hình chữ nhật, mỗi phần có chiều rộng  $d\ell =Rd\phi$. Gọi  $\sigma$ là mật độ khối lượng phân bố trên mặt trụ, ta có:

$dm=\sigma dS=\sigma h.d\ell =\sigma hRd\phi$$\Rightarrow dI=dm.R^2=\sigma h{R}^{3}d\phi$

Vì khối lượng phân bố đều nên $\sigma =const$.

$\Rightarrow I=\underset{\text{mặt trụ }}{\int }dI=\underset{\text{mặt trụ }}{\int }\sigma h{R}^{3}d\phi =\sigma h{R}^3\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\phi$

$\Rightarrow I=2\pi \sigma h{R}^3=m{R}^3$

Với  $m=2\pi \sigma hR$ là khối lượng hình trụ.

Làm tương tự đối với vành tròn (trục quay là trục của vành tròn), ta cũng có:  $I=m{R}^2$.

Vậy momen quán tính đối với trục của hình trụ rỗng, hay vành tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều là:  $I=m{R}^2$  (3.50) với m và R là khối lượng và bán kính hình trụ hay vành tròn.

Ví dụ 2: Tính momen quán tính của khối trụ đặc hay đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục của nó.

Hướng dẫn giải:

Chia khối trụ đặc thành nhiều lớp mỏng, có bề dày dr. Mỗi lớp được coi như một hình trụ rỗng, nên có momen quán tính là:  $dI=dm.r^2=\rho dV.r^2$ với  $\rho$ là khối lượng riêng của khối trụ.

Mà $dV=dS.h=[\pi {(r+dr)}^2-\pi r^2].h\approx 2\pi hrdr$

 $\Rightarrow dI=2\pi \rho h{r}^{3}dr$

 $\Rightarrow I=\underset{\text{toàn khối trụ }}{\int }dI=2\pi \rho .h\underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^{3}dr=\frac{1}{2}\pi \rho .h{R}^4=\frac{1}{2}m{R}^2$

Tương tự, đối với đĩa tròn ta cũng thu được kết quả trên.

Vậy momen quán tính đối trục đối xứng của khối trụ đặc hay đĩa tròn đồng chất, khối lượng phân bố đều là:  $I=\frac{1}{2}m{R}^2$   (3.51) với m và R là khối lượng và bán kính của khối trụ hay đĩa tròn.

Ví dụ 3: Tính momen quán tính của thanh đồng chất, khối lượng m phân bố đều theo chiều dài  $\ell$ của thanh, đối với trục  $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với thanh.

Hướng dẫn giải:

Chia chiều dài thanh thành các phần tử nhỏ có bề dày dx. Khối lượng của mỗi phần đó là  $dm=\lambda dx$, với  $\lambda$ là mật độ khối lượng phân bố theo chiều dài của thanh. Vì khối lượng phân bố đều nên  $\lambda =const$.

Ta có:  $dI=dm.x^2=\lambda x^{2}dx$

 $\Rightarrow I=\underset{\text{toàn thanh }}{\int }dI=\lambda \underset{-\frac{\ell }{2}}{\overset{\frac{\ell }{2}}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{12}\lambda {\ell }^3=\frac{1}{12}m{\ell }^2$  (3.52)

Với  $m=\lambda \ell$ là khối lượng của thanh;  $\ell$ là chiều dài của thanh.

Ví dụ 4: Tính momen quán tính của khối cầu đặc, đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính.

Hướng dẫn giải:

Momen quán tính đối với trục Oz (hình 3.17):

 $I_z=\underset{\text{khối cầu }}{\int }dI=\underset{\text{khối cầu }}{\int }{r}_z^{2}dm=\underset{\text{khối cầu }}{\int }(x^2+y^2)dm$

Tương tự đối với trục Ox, Oy ta cũng có:

 $I_x=\underset{\text{khối cầu }}{\int }(y^2+z^2)dm$

 $I_y=\underset{\text{khối cầu }}{\int }(x^2+z^2)dm$

Do tính đối xứng cầu nên  $I_x=I_y=I_z=I=\frac{I_x+I_y+I_z}{3}$

 $\Rightarrow I=\frac{2}{3}\underset{\text{khối cầu }}{\int }(x^2+y^2+z^2)dm=\frac{2}{3}\underset{\text{khối cầu }}{\int }{r}^2\rho dV$

Mà thể tích hình cầu là  $V=\frac{4}{3}\pi r^3\Rightarrow dV=4\pi r^{2}dr$

$\Rightarrow I=\frac{2}{3}\underset{\text{khối cầu }}{\int }{r}^2\rho .4\pi r^{2}dr=\frac{8}{3}\pi \rho \underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^{4}dr=\frac{8}{15}\pi \rho R^5=\frac{2}{5}m{R}^2$   (3.53)

Với R, $m=\rho V=\frac{4}{3}\pi R^3\rho$ là bán kính, khối lượng của khối cầu.

Ví dụ 5: Tính momen quán tính của khối cầu rỗng, thành mỏng đồng chất, khối lượng phân bố đều đối với trục quay chứa đường kính.

Hướng dẫn giải:

Xét điểm M trên mặt cầu, ta có:  $x^2+y^2+z^2=R^2=const$. Tương tự ví dụ 4, ta cũng có:

 $\Rightarrow I=\frac{2}{3}\underset{\text{khối cầu }}{\int }(x^2+y^2+z^2)dm=\frac{2}{3}\underset{\text{khối cầu }}{\int }{R}^{2}dm=\frac{2}{3}m{R}^2$   (3.54)

c) Định lí Huygens – Steiner

các công thức (3.50) đến (3.54) chỉ cho phép tính momen quán tính của vật rắn đối với trục quay  ${\mathrm{\Delta }}_G$ đi qua khối tâm G. Trong trường hợp, trục  $\mathrm{\Delta }$ không đi qua G nhưng song song với  ${\mathrm{\Delta }}_G$, ta có thể vận dụng định lí Huygens – Steiner để tính:

 $I_{\mathrm{\Delta }}=I_G+m{d}^2$   (3.55)

Với m là khối lượng của vật rắn và d là khoảng cách giữa hai trục quay  $\mathrm{\Delta }$ và  ${\mathrm{\Delta }}_G$.

Chứng minh:

Xét một yếu tố khối lượng dm, các trục  ${\mathrm{\Delta }}_G$ một đoạn x và cách trục  $\mathrm{\Delta }$ một khoảng (x + d) (xem hình minh họa 3.18).

Momen quán tính của vật rắn đối với trục  ${\mathrm{\Delta }}_G$ là:  $I_G=\underset{\text{vật rắn }}{\int }{x}^{2}dm$ và đối với trục  $\mathrm{\Delta }$ là:

 $I=\underset{\text{vật rắn }}{\int }{(x+d)}^{2}dm=\underset{\text{vật rắn }}{\int }(x^2+2dx+d^2)dm$

 $\Rightarrow I=\underset{\text{vật rắn }}{\int }{x}^{2}dm+2d\underset{\text{vật rắn }}{\int }xdm+\underset{\text{vật rắn }}{\int }{d}^{2}dm$  (*)

Số hạng thứ nhất ở vế phải của (*) chính là momen quán tính đối với trục  ${\mathrm{\Delta }}_G$; số hạng thứ hai luôn triệt tiêu, vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ theo x và miền tính tích phân đối xứng quanh trục  ${\mathrm{\Delta }}_G$ của vật rắn (nói cách khác nếu có yếu tố dm ở tọa độ x thì tồn tại yếu tố dm ở tọa độ ( $-x$) nên tích phân thứ hai bằng 0); số hạng thứ ba chính là  $m{d}^2$.

Vậy:  $I_{\mathrm{\Delta }}=I_G+m{d}^2$ (đpcm)