Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
3.4. Phương pháp giải bài toán động lực học vật rắn
A. Lý Thuyết
Tương tự như Động lực học chất điểm, trong Động lực học vật rắn cũng có hai dạng bài toán: thuận và nghịch. Bài toán cho biết các lực, tìm gia tốc – gọi là bài toán thuận; bài toán cho gia tốc tìm các lực, momen lực – gọi là bài toán nghịch.
Phương pháp giải các dạng bài toán này đều tuân theo trình tự sau:
1) Các bước
+ Bước 1: Phân tích các lực tác dụng lên vật rắn.
+ Bước 2: Viết các phương trình động lực học: \( \sum{\overrightarrow{F}}=m\vec{a} \) (1) cho chuyển động tịnh tiến và có phương trình \( \sum{{{\mathcal{M}}_{\Delta }}}={{I}_{\Delta }}.\beta \) (2) cho chuyển động quay (nếu có).
+ Bước 3: Chiếu phương trình (1) lên các trục tọa độ cần thiết.
+ Bước 4: Giải hệ phương trình và biện luận kết quả.
Chú ý:
– Khi chiếu một vectơ lên trục tọa độ, nếu vectơ đó đã xác định thì hình chiếu của nó sẽ có dấu xác định tùy theo nó theo chiều dương hay âm của trục tọa độ. Nếu vectơ đó chưa xác định (thường là vectơ gia tốc và các lực liên kết) thì hình chiếu của nó sẽ có giá trị đại số.
– Khi tính tổng các momen lực, cần chọn một chiều quay dương (thường là chiều quay của vật, hoặc chiều kim đồng hồ). Nếu lực nào làm vật quay theo chiều đó thì momen của nó sẽ dương; trái lại là momen âm.
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
2) Con lắc vật lý
Con lắc vật lý là một vật rắn khối lượng m, có thể quay quanh trục cố định, nằm ngang.
Gọi G là khối tâm của con lắc, d là khoảng cách từ G đến trục quay O; \( \theta \) là góc lượng giác tạo bởi phương thẳng đứng và đường OG. Bỏ qua ma sát thì lực tác dụng lên con lắc gồm trọng lực \( \overrightarrow{P} \) (có điểm đặt tại khối tâm) và phản lực \( \overrightarrow{R} \) của trục quay (có điểm đặt tại trục quay). Suy ra, chỉ có trọng lực gây ra momen quay, còn phản lực không tạo momen quay (vì có giá đi qua trục quay).
Phương trình chuyển động quay của con lắc quanh trục O là:
\( I\frac{{{d}^{2}}\theta }{d{{t}^{2}}}={{\mathcal{M}}_{\overrightarrow{P}/O}}=-P\sin \theta .d=-mg\sin \theta .d \) (3.60)
Với I là momen quán tính của con lắc đối với trục quay; d là khoảng cách từ khối tâm G đến trục quay; chiều quay dương là chiều ngược kim đồng hồ.
Xét trường hợp con lắc dao động với biên độ góc \( {{\theta }_{O}} \) nhỏ thì \( \sin \theta \approx \theta \).
(3.60) trở thành: \( \frac{{{d}^{2}}\theta }{d{{t}^{2}}}+\frac{mgd}{I}.\theta =0 \) hay \( \frac{{{d}^{2}}\theta }{d{{t}^{2}}}+\omega _{O}^{2}.\theta =0 \) (3.61)
Với \( \omega _{O}^{2}=\frac{mgd}{I} \).
(3.61) là phương trình vi phân của con lắc vật lý. Nghiêm của phương trình này có dạng: \( \theta ={{\theta }_{O}}\sin \left( {{\omega }_{O}}t+\varphi \right) \) (3.62)
Vậy, với biên độ góc nhỏ ( \( {{\theta }_{O}}<{{10}^{O}} \)), dao động của con lắc vật lý là dao động điều hòa tự do, có:
+ Tần số góc riêng: \( {{\omega }_{O}}=\sqrt{\frac{mgd}{I}} \) (3.63)
+ Chu kỳ riêng: \( {{T}_{O}}=\frac{2\pi }{{{\omega }_{O}}}=2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}} \) (3.64)
Trường hợp đặc biệt, vật rắn là chất điểm đặt tại G, khi đó I=m{{d}^{2}} và ta có:
\( {{T}_{O}}=2\pi \sqrt{\frac{d}{g}} \) hay \( {{T}_{O}}=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}} \) (3.65)
Con lắc vật lý trở thành con lắc toán học (con lắc đơn) có chiều dài \( \ell =d \).
Nếu một con lắc đơn và một con lắc vật lý có cùng chu kỳ thì ta nói chúng là hai con lắc đồng hồ.
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1.Một bánh xe (coi như hình trụ đặc đồng nhất), bán kính R bắt đầu lăn không trượt từ đỉnh một cái dốc có đường cao h, nghiêng một góc \( \alpha \) so với phương ngang xuống chân dốc. Bỏ qua ma sát cản lăn. Tính gia tốc và vận tốc của khối tâm bánh xe ở chân dốc.
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Lực tác dụng lên bánh xe gồm:
+ Trọng lực \( \overrightarrow{P} \) (có giá qua khối tâm G);
+ Phản lực pháp tuyến \( \overrightarrow{N} \) (có giá qua khối tâm G);
+ Lực ma sát nghỉ \( {{\overrightarrow{f}}_{msn}} \) (tiếp tuyến với mặt tiếp xúc).
Chú ý: Nếu hoàn toàn không có ma sát, bánh xe sẽ trượt mà không quay, vì \( \overrightarrow{P} \) và \( \overrightarrow{N} \) đều có giá qua G nên không tạo momen quay. Do đó phải có ma sát nghỉ tạo momen quay. Lực này đóng vai trò là lực phát động, không phải lực cản (bỏ qua ma sát cản lăn). Để hiểu rõ thêm về lực ma sát trong chuyển động lăn.
Bước 2: Chuyển động của bánh xe bao gồm hai chuyển động đồng thời: Tịnh tiến của khối tâm G và quay quanh trục đi qua G, nên ta có hai phương trình:
Ta có: \( \overrightarrow{N}+\overrightarrow{P}+{{\overrightarrow{f}}_{msn}}=m\vec{a} \) (1)
\( {{f}_{msn}}.R=I.\beta \) (2)
Chú ý: Chỉ có lực ma sát là tạo momen quay, còn các lực khác đi qua khối tâm G nên không tạo momen quay.
Bước 3: Chiếu (1) lên phương mặt phẳng nghiêng, chiều dương hướng xuống chân dốc, ta có: \( P\sin \alpha -{{f}_{msn}}=ma \) (3)
Do lăn không trượt nên \( a={{a}_{t}}=\beta .R\Rightarrow \beta =\frac{a}{R} \) (4)
Bước 4: Thay (4) vào (2) và kết hợp (3), ta có gia tốc của khối tâm bánh xe là:
\( a=g\frac{m\sin \alpha }{m+\frac{I}{{{R}^{2}}}}=g\frac{m\sin \alpha }{m+\frac{1}{2}m}=\frac{2}{3}g\sin \alpha \) (3.57)
Tới chân dốc, khối tâm G của bánh xe còn cách mặt đường một đoạn R, nên quãng đường mà khối tâm đã đi là \( s=\frac{h-R}{\sin \alpha } \). Vậy vận tốc của G ở chân dốc là
\( v=\sqrt{2as}=\sqrt{2a\frac{h-R}{\sin \alpha }}=\sqrt{\frac{4g\left( h-R \right)}{3}} \) (3.58)
Câu 2.Một động cơ điện khởi động nhanh dần đều trong thời gian 3 giây và đạt vận tốc ổn định là 720 vòng/phút. Coi rotor có dạng hình trụ đặc đồng nhất, bán kính R = 10 cm, khối lượng m = 5 kg và coi lực từ có phương tiếp xúc với bề mặt rotor, hãy tính momen khởi động của lực từ và độ lớn của lực từ. Bỏ qua momen cản ở trục rotor.
Hướng dẫn giải:
Lực tác dụng lên rotor gồm trọng lực \( \overrightarrow{P} \), phản lực pháp tuyến \( \overrightarrow{N} \) của vòng đỡ, lực từ \( \overrightarrow{F} \) (khi quấn động cơ, người ta tính toán sao cho \( \overrightarrow{F} \) có phương tiếp tuyến để tạo momen lớn nhất). Dễ thấy \( \overrightarrow{N} \) cân bằng với trọng lực \( \overrightarrow{P} \) và chỉ có lực từ tạo momen làm quay động cơ.
Momen khởi động của lực từ: \( {{\mathcal{M}}_{\Delta }}=I.\beta =I.\frac{\omega -{{\omega }_{O}}}{t} \)
Với \( I=\frac{1}{2}m{{R}^{2}}=\frac{1}{2}.6.0,{{1}^{2}}=0,03\text{ }kg{{m}^{2}} \); \( {{\omega }_{O}}=0\text{ }rad/s \); \( \omega =720\text{ vòng/phút }=24\pi \text{ }rad/s \) thì momen lực là: \({{\mathcal{M}}_{\Delta }}=\frac{0,03.24\pi }{3}=0,72\pi \approx 2,26\text{ }Nm\)
Độ lớn của lực từ: \( {{\mathcal{M}}_{\Delta }}=F.R \) \( \Rightarrow F=\frac{{{\mathcal{M}}_{\Delta }}}{R}=\frac{2,26}{0,1}=22,6N \)
Câu 3. Cho cơ hệ như hình vẽ dưới. Khối lượng vật A, con lăn B và ròng rọc C là m1, m2 và mO. Bán kính ròng rọc là r, bán kính con lăn là R. Momen cản ở trục ròng rọc là \( {{\mathcal{M}}_{C}} \), hệ số ma sát lăn giữa con lăn và mặt bàn là \( \mu \) (có thứ nguyên là mét). Bỏ qua momen cản ở trục con lăn, coi dây không giãn và không trượt trên ròng rọc. Tính gia tốc của vật A.
Hướng dẫn giải:
Phân tích lực:
+ Lực tác dụng lên vật A gồm: trọng lực \( {{\overrightarrow{P}}_{1}} \), lực căng dây \( {{\overrightarrow{T}}_{1}} \).
+ Lực tác dụng lên con lăn B gồm: trọng lực \( {{\overrightarrow{P}}_{2}} \), phản lực pháp tuyến \( {{\overrightarrow{N}}_{2}} \), lực căng dây \( {{\overrightarrow{T}}_{2}} \), lực ma sát \( {{\overrightarrow{F}}_{ms}} \).
+ Lực tác dụng lên ròng rọc C gồm: trọng lực \( {{\overrightarrow{P}}_{0}} \), phản lực liên kết của trục quay \( \overrightarrow{R} \), lực căng dây \( {{\overrightarrow{T}}_{3}} \), \( {{\overrightarrow{T}}_{4}} \)
Viết các phương trình động lực học cho A, B, C:
A: \( {{\overrightarrow{P}}_{1}}+{{\overrightarrow{T}}_{1}}={{m}_{1}}{{\vec{a}}_{1}} \) (1)
B: \({{\overrightarrow{P}}_{2}}+{{\overrightarrow{N}}_{2}}+{{\overrightarrow{T}}_{2}}+{{\overrightarrow{F}}_{ms}}={{m}_{2}}{{\vec{a}}_{2}}\) (2)
Và: \(\sum{{{\mathcal{M}}_{/G}}}={{I}_{2}}{{\beta }_{2}}\) (3)
C: \( \sum{{{\mathcal{M}}_{/G}}}={{I}_{0}}{{\beta }_{0}} \) (4)
Chiếu (1) lên Ox \( \Rightarrow {{P}_{1}}-{{T}_{1}}={{m}_{1}}{{a}_{1}} \) (5)
Chiếu (2) lên Ox \( \Rightarrow {{T}_{2}}-{{F}_{ms}}={{m}_{2}}{{a}_{2}} \) (6)
Chiếu (2) lên Oy \( \Rightarrow {{P}_{2}}-{{N}_{2}}=0 \) (7)
Chọn chiều quay dương là chiều kim đồng hồ.
+ Đối với con lăn B, các lực \( {{\overrightarrow{P}}_{2}} \) và \( {{\overrightarrow{T}}_{2}} \) không gây ra momen quay, vì giá của chúng đi qua trục quay; chỉ có lực ma sát \( {{\overrightarrow{F}}_{ms}} \) và phản lực pháp tuyến \( {{\overrightarrow{N}}_{2}} \) là gây ra momen quay. Momen của lực ma sát là momen phát động làm con lăn quay theo chiều kim đồng hồ: \( {{\mathcal{M}}_{ms}}={{F}_{ms}}.R \); còn momen của phản lực pháp tuyến là momen cản lăn: \( {{\mathcal{M}}_{N}}=-\mu .{{N}_{2}} \).
Do đó (3) trở thành: \( {{F}_{ms}}.R-\mu .{{N}_{2}}={{I}_{2}}.\beta \) (8)
+ Tương tự đối với ròng rọc C, (4) trở thành: \( {{T}_{4}}.r-{{T}_{3}}.r-{{M}_{C}}={{I}_{0}}.{{\beta }_{0}} \) (9)
Ngoài ra, ta có các điều kiện:
– Dây không giãn \( \Rightarrow {{a}_{1}}={{a}_{2}}=a \) (10)
– Dây không khối lượng \( \Rightarrow {{T}_{1}}={{T}_{4}}=T;{{T}_{2}}={{T}_{3}}=T’ \) (11)
– Dây không trượt trên ròng rọc \( \Rightarrow a={{a}_{t}}={{\beta }_{0}}.r={{\beta }_{2}}.R \) (12)
Giải hệ phương trình: thay (10), (11), (12) vào (5), (6), (7), (8), (9), ta có:
(5) \( \Rightarrow {{m}_{1}}g-T={{m}_{1}}a \) (5’)
(6) \( \Rightarrow T’-{{F}_{ms}}={{m}_{2}}a \) (6’)
(8) \( \Rightarrow {{F}_{ms}}-\frac{\mu }{R}{{m}_{2}}g={{I}_{2}}\frac{a}{{{R}^{2}}}=\frac{1}{2}{{m}_{2}}a \) (8’)
(9) \( \Rightarrow T-T’-\frac{{{\mathcal{M}}_{C}}}{r}=\frac{{{I}_{0}}}{r}.\frac{a}{r}=\frac{1}{2}{{m}_{0}}a \) (9’)
Cộng vế với vế các phương trình (5’), (6’), (8’) và (9’), ta thu được gia tốc của vật:
\( a=g\frac{{{m}_{1}}-\frac{\mu }{R}{{m}_{2}}-\frac{{{M}_{C}}}{gr}}{{{m}_{1}}+\frac{3}{2}{{m}_{2}}+\frac{1}{2}{{m}_{0}}} \) (3.59)
