Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
4.1. Công
A. Lý Thuyết
1) Định nghĩa
Công của lực \( \overrightarrow{F} \) trên đoạn đường vi cấp ds là: \( dA={{F}_{s}}.ds=Fds.\cos \alpha =\overrightarrow{F}.d\vec{s} \) (4.1)
Với Fs là hình chiếu của lực \( \overrightarrow{F} \) xuống quỹ đạo; \( d\vec{s} \) là vi phân của vectơ đường đi (cũng chính là vi phân của độ dời); \( \alpha \) là góc tạo bởi hướng của lực và hướng của đường đi.
Suy ra, công của lực \( \overrightarrow{F} \) trên quãng đường s bất kì là: \( A=\int\limits_{s}{dA}=\int\limits_{s}{\overrightarrow{F}d\vec{s}}=\int\limits_{s}{{{F}_{s}}ds}=\int\limits_{s}{Fds\cos \alpha } \) (4.2)
Trong hệ tọa độ Descartes, \(d\vec{s}=d\vec{r}=\left( x;y;z \right)\); \(\overrightarrow{F}=\left( {{F}_{x}};{{F}_{y}};{{F}_{z}} \right)\) nên biểu thức tính công là: \( A=\int\limits_{s}{\overrightarrow{F}d\vec{s}}=\int\limits_{s}{\overrightarrow{F}d\vec{r}}=\int\limits_{s}{{{F}_{x}}dx}+\int\limits_{s}{{{F}_{y}}dy}+\int\limits_{s}{{{F}_{z}}dz} \) (4.3)
Tích phân (4.3) được gọi là tích phân đường. Hệ thức đó chứng tỏ, trong trường hợp tổng quát, công phụ thuộc cả vào vị trí và đường đi. Tuy nhiên, trong một số trường lực, công không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối. Trường lực có tính chất như vậy, được gọi là trường lực thế.
Trường hợp đặc biệt: Nếu các thành phần Fx, Fy, Fz chỉ phụ thuộc vào tọa độ tương ứng của nó, nghĩa là \( {{F}_{x}}=f(x) \), \( {{F}_{y}}=g(y) \), \( {{F}_{z}}=h(z) \) thì tích phân đường (4.3) được đưa về tổng các tích phân: \( A=\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{{{F}_{x}}dx}+\int\limits_{{{y}_{1}}}^{{{y}_{2}}}{{{F}_{y}}dy}+\int\limits_{{{z}_{1}}}^{{{z}_{2}}}{{{F}_{z}}dz} \) (4.4)
Công là đại lượng vô hướng, có thể âm, dương hoặc bằng không. Trong hệ SI, công có đơn vị jun (J).
+ Nếu lực \( \overrightarrow{F} \) luôn vuông góc với đường đi thì từ (4.2) suy ra A = 0: lực không sinh công.
+ Nếu lực \( \overrightarrow{F} \) tạo với đường đi một góc nhọn thì A > 0: công phát động.
+ Nếu lực \( \overrightarrow{F} \) tạo với đường đi một góc từ thì A < 0: công cản.
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
2) Công của lực ma sát
Lực ma sát luôn tiếp xúc với quỹ đạo và hướng ngược chiều chuyển động, nên \( \cos \alpha =-1 \). Do đó, công của lực ma sát là: \( {{A}_{ms}}=\int\limits_{s}{{{F}_{ms}}ds\cos \alpha }=-\int\limits_{s}{{{F}_{ms}}ds} \) (4.5)
Nếu trên quãng đường s, lực ma sát có độ lớn không đổi thì ta có: \( {{A}_{ms}}=-{{F}_{ms}}.s \) (4.6)
Biểu thức (4.6) chứng tỏ công của lực ma sát là công cản và phụ thuộc vào quãng đường vật đã đi. Vậy lực ma sát không phải là lực thế.
3) Công của lực đàn hồi
Xét biến dạng một chiều của lò xo. Lực đàn hồi của lò xo, có dạng: \( \overrightarrow{F}=-k\vec{x} \).
Thay vào (4.2), ta có công của lực đàn hồi là:
\( A=\int\limits_{s}{\overrightarrow{F}d\vec{s}}=-k\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\vec{x}d\vec{x}}=-k\int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{xdx}=\frac{1}{2}k\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right) \) (4.7)
Trong đó x1, x2 chính là độ biến dạng tương ứng của lò xo tại vị trí đầu và cuối. Từ (4.7) suy ra, công của lực đàn hồi không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí đầu và cuối. Ta nói lực đàn hồi là một lực thế.
4) Công của lực hấp dẫn
Ta có lực hấp dẫn: \({{\overrightarrow{F}}_{hd}}=-G\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{3}}}\vec{r}\)
Suy ra công của lực hấp dẫn mang vật từ vị trí (1) đến vị trí (2) là:
\( {{A}_{12}}=\int\limits_{(1)}^{(2)}{{{\overrightarrow{F}}_{hd}}d\vec{r}}=-G{{m}_{1}}{{m}_{2}}\int\limits_{(1)}^{(2)}{\frac{{\vec{r}}}{{{r}^{3}}}d\vec{r}} \)
Mà \( \vec{r}d\vec{r}=xdx+ydy+zdz=\frac{1}{2}d\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)=\frac{1}{2}d\left( {{r}^{2}} \right)=rdr \)
Nên \( {{A}_{12}}=-G{{m}_{1}}{{m}_{2}}\int\limits_{{{r}_{1}}}^{{{r}_{2}}}{\frac{dr}{{{r}^{2}}}}=G{{m}_{1}}{{m}_{2}}\left( \frac{1}{{{r}_{2}}}-\frac{1}{{{r}_{1}}} \right) \) (4.8)
Trường hợp riêng, ta tính công của trọng lực khi vật di chuyển từ vị trí có độ cao h1 đến vị trí có độ cao h2 so với mặt đất: \( {{A}_{P}}=GMm\frac{{{r}_{1}}-{{r}_{2}}}{{{r}_{1}}{{r}_{2}}} \) (4.9)
Với các độ cao không lớn lắm thì ta có: \( {{r}_{1}}.{{r}_{2}}=\left( R+{{h}_{1}} \right)\left( R+{{h}_{2}} \right)\approx {{R}^{2}} \)
\( {{r}_{1}}-{{r}_{2}}={{h}_{1}}-{{h}_{2}} \)
Vậy: \( {{A}_{P}}=GMm\frac{{{h}_{1}}-{{h}_{2}}}{{{R}^{2}}}=mg\left( {{h}_{1}}-{{h}_{2}} \right) \) (4.10)
Từ (4.10) suy ra, khi vật đi xuống thì trọng lực sinh công dương; khi vật đi lên thì trọng lực sinh công âm; nếu vật chuyển động theo phương ngang thì trọng lực không sinh công. Hệ thức (4.8) và (4.10) chứng tỏ công của lực hấp dẫn chỉ phụ thuộc vị trí điểm đầu và điểm cuối. Vậy, trường hấp dẫn là một trường lực thế.
Trong trường hợp tổng quát, ta cũng chứng minh được các trường lực xuyên tâm là các trường lực thế.
5) Công của lực trong chuyển động quay
Trong chuyển động quay, lực tác dụng được phân tích thành ba thành phần (xem hình 3.11): \( \overrightarrow{F}={{\overrightarrow{F}}_{//}}+{{\overrightarrow{F}}_{n}}+{{\overrightarrow{F}}_{t}} \).
Thành phần song song với trục quay \( {{\overrightarrow{F}}_{//}} \) và thành phần pháp tuyến \( {{\overrightarrow{F}}_{n}} \) luôn vuông góc với đường đi \(d\vec{s}\) nên không tạo công, chỉ có thành phần tiếp tuyến \({{\overrightarrow{F}}_{t}}\) là tạo công. Do đó, công vi cấp:
\( dA={{\overrightarrow{F}}_{t}}d\vec{s}={{F}_{t}}ds={{F}_{t}}Rd\varphi ={{\mathcal{M}}_{\Delta }}d\varphi \) (4.11)
Với \( d\varphi \) là góc chắn cung ds; \( {{\mathcal{M}}_{\Delta }}={{F}_{t}}R \) là momen của lực đối với trục quay \( \Delta \). Suy ra, công của lực làm vật quay từ vị trí góc \( {{\varphi }_{1}} \) đến \( {{\varphi }_{2}} \) là: \( A=\int\limits_{{{\varphi }_{1}}}^{{{\varphi }_{2}}}{{{\mathcal{M}}_{\Delta }}d}\varphi \) (4.12)
Nếu momen của lực không đổi thì: \( A={{\mathcal{M}}_{\Delta }}\left( {{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \right)={{\mathcal{M}}_{\Delta }}\theta \) (4.13)
Trong đó: \( \theta ={{\varphi }_{2}}-{{\varphi }_{1}} \) là góc mà vật đã quay được.
Nếu trong (4.11), ta thay \( {{\mathcal{M}}_{\Delta }}=I\beta =I\frac{d\omega }{dt} \) thì \( dA=I\frac{d\omega }{dt}.d\varphi =I\omega d\omega \)
Suy ra: \( A=\int\limits_{{{\omega }_{1}}}^{{{\omega }_{2}}}{I\omega d\omega }=\frac{1}{2}I\left( \omega _{2}^{2}-\omega _{1}^{2} \right) \) (4.14)
(4.14) là công thức tổng quát tính tổng công của các ngoại lực trong chuyển động quay của vật rắn quanh một trục \( \Delta \) cố định. Trường hợp muốn tính công của một lực (hay hệ lực) nào đó, ta dùng (4.12) hoặc (4.13), với \( {{\mathcal{M}}_{\Delta }} \) là momen của lực (hay hệ lực) đó đối với trục quay \( \Delta \).
B. Bài tập có hướng dẫn giải
Câu 1. Tính công thực hiện bởi lực \( \overrightarrow{F}=\left( 5x;4y \right) \) tác dụng vào một vật làm nó di chuyển từ điểm M(2;3) đến N(3;0). Các đơn vị đo trong hệ SI.
Hướng dẫn giải:
Theo (4.4) ta có công cần tính là:
\( A=\int\limits_{2}^{3}{5xdx}+\int\limits_{3}^{0}{4ydy}=\left. 2,5{{x}^{2}} \right|_{2}^{3}+\left. 2{{y}^{2}} \right|_{3}^{0}=12,5-18=-5,5\text{ }J \)
Câu 2. Vật khối lượng m = 10 kg trượt trên sàn ngang có hệ số ma sát \( \mu =0,2 \). Tính công của lực ma sát khi vật đi được 10 m.
Hướng dẫn giải:
Ta có lực ma sát trượt: \( F=\mu N=\mu mg=0,2mg=0,2.10.10=20\text{ }N \)
Vậy công của lực ma sát là: \( {{A}_{ms}}=-F_{ms}^{{}}.s=-20.10=-200\text{ }J \).
Câu 3. Một con lắc lò xo có độ cứng k = 10 N/m, dao động điều hòa với phương trình: \( x=10\sin 5\pi t\text{ }cm \). Tính công của lực đàn hồi thực hiện trong khoảng thời gian:
a) Từ lúc t = 0 đến lúc t = 5,5 s.
b) Một chu kỳ.
Hướng dẫn giải:
a) Tại thời điểm t1 = 0 s tọa độ của vật là x1 = 0 cm = 0 m
Tại thời điểm t2 = 5,5 s tọa độ của vật là: \( {{x}_{2}}=10\sin 27,5\pi =-10\text{ }cm=-0,1\text{ }m \)
Vậy công của lực đàn hồi đã thực hiện là:
\( A=\frac{1}{2}k\left( x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \right)=\frac{1}{2}.100.\left( 0-0,{{1}^{2}} \right)=-0,5\text{ }J \)
Câu 4. Một vô lăng hình trụ đồng nhất, bán kính R =20 cm, khối lượng m = 20 kg đang quay với vận tốc \( \omega =4\pi \text{ }rad/s \) thì bị hãm và dừng lại. Tính công của lực hãm trong quá trình đó.
Hướng dẫn giải:
Ta có: \( {{\omega }_{1}}=\omega =4\pi \text{ }rad/s \); \( {{\omega }_{2}}=0 \) (vì dừng lại); \( I=\frac{1}{2}m{{R}^{2}} \)
Áp dụng (4.14), ta có công của lực hãm là:
\(A=\frac{1}{4}m{{R}^{2}}\left( \omega _{2}^{2}-\omega _{1}^{2} \right)=-\frac{1}{4}.20.0,{{2}^{2}}.{{\left( 4\pi \right)}^{2}}=-32\text{ }J\)
