A. Lý thuyết về Thế năng
1) Định nghĩa thế năng
Ta biết, công của trường lực thế không phụ thuộc vào đường đi mà chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm đầu và điểm cuối của đường đi. Để đặc trưng cho tính chất thế của trường lực, ta đùng hàm vô hướng Et(x;y;z) mô tả vị trí các điểm trong trường lực, sao cho hiệu hai giá trị của hàm tại hai điểm M, N bất kì bằng công của lực thế thực hiện giữa hai điểm đó. Hàm Et(x;y;z) có tính chất như vậy được gọi là hàm thế, hay thế năng của trường lực thế đó.
Vậy, thế năng của chất điểm trong trường lực thế là hàm \( E(\vec{r}) \) phụ thuộc vào vị trí của chất điểm, sao cho hiệu các giá trị của hàm tại hai điểm M, N chính bằng công của lực thế đã thực hiện trong quá trình chất điểm di chuyển từ M đến N.
Et(M) – Et(N) = AMN (4.31)
Trong hệ SI, thế năng có đơn vị là jun (J).
Với khái niệm (4.31), ta thấy có rất nhiều hàm thế, các hàm này sai khác nhau một hằng số cộng C. Do đó, thế năng của vật không xác định đơn giá mà sai khác nhau một hằng số cộng. Tuy nhiên, hiệu thế năng tại hai điểm luôn xác định đơn giá.
Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng ( \( {{E}_{t}}(\infty )=0 \)) thì thế năng tại điểm M sẽ xác định đơn giá và có biểu thức tính: \( {{E}_{t}}(M)={{A}_{M\infty }}=\int\limits_{(M)}^{\infty }{\overrightarrow{F}d\vec{s}} \) (4.32)
Tổng quất, thế năng tại điểm M(x,y,z) trong trường lực thế có biểu thức tính: \( {{E}_{t}}(M)=-\int{\overrightarrow{F}d\vec{s}}=-\int{\overrightarrow{F}d\vec{r}}+C \) (4.33)
Với C là hằng số, phụ thuộc vào điểm chọn gốc thế năng.
2) Quan hệ giữa thế năng và lực thế
So sánh (4.31) và (4.2) ta có mối quan hệ giữa thế năng và lực thế ở dạng tích phân:
\( \int\limits_{MN}{\overrightarrow{F}d\vec{s}}={{E}_{t}}(M)-{{E}_{t}}(N) \) (4.34)
Vế trái (4.34) được gọi là lưu thông của vectơ lực từ điểm M đến N dọc theo một đường cong bất kì nào đó; còn vế phải là hiệu thế năng tại M, N.
Vậy: Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong bất kì từ điểm M đến N bằng hiệu thế năng giữa hai điểm đó. Lưu thông của lực thế dọc theo một đường cong kín bất kì thì bằng không: \( \oint\limits_{(C)}{\overrightarrow{F}d\vec{s}}=0 \) (4.35)
Các công thức (4.34) và (4.35) biểu diễn tính chất thế của trường lực ở dạng tích phân. Ở dạng vi phân, ta có: \( {{A}_{12}}={{E}_{t1}}-{{E}_{t2}}=-\Delta {{E}_{t}} \) hay \( dA=-d{{E}_{t}} \).
Mà: \( dA=\overrightarrow{F}d\vec{s}=\overrightarrow{F}d\vec{r}={{F}_{x}}dx+{{F}_{y}}dy+{{F}_{z}}dz \); \( {{E}_{t}}={{E}_{t}}(x;y;z) \) và vi phân của hàm thế: \( d{{E}_{t}}=\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial x}.dx+\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial y}.dy+\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial z}.dz \)
Nên: \( {{F}_{x}}dx+{{F}_{y}}dy+{{F}_{z}}dz=-\left( \frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial x}.dx+\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial y}.dy+\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial z}.dz \right) \)
Suy ra: \( {{F}_{x}}=-\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial x} \); \( {{F}_{y}}=-\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial y} \); \( {{F}_{z}}=-\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial z} \) (4.36)
Trong giải tich 1vet, người ta xây dựng một vectơ grad dẫn xuất từ một hàm vô hướng – gọi là gradien: \( grad\left( {{E}_{t}} \right)=\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial x}.\overrightarrow{i}+\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial y}.\overrightarrow{j}+\frac{\partial {{E}_{t}}}{\partial z}.\overrightarrow{k} \) (4.37)
Do đó (4.36) được viết là: \( \overrightarrow{F}=-grad({{E}_{t}}) \) (4.38)
(4.36) và (4.38) là mối quan hệ giữa lực thế \( \overrightarrow{F} \) và thế năng Et ở dạng vi phân. Vì \(grad({{E}_{t}}) \) là vectơ luôn hướng theo chiều giảm của hàm thế.
Trường hợp riêng, thế năng chỉ là hàm một biến, ví dụ Et = Et(X), thì ta có:
\( F=-\frac{d{{E}_{t}}(x)}{dx} \) (4.38a)
3) Thế năng của lực đàn hồi
So sánh (4.31) và (4.7) suy ra, thế năng của lực đàn hồi là:
\( {{E}_{t}}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}}+C \) (4.39)
Trong đó x là độ biến dạng của lò xo, đơn vị đo là mét (m); k là độ cứng (hay hệ số đàn hồi) của lò xo, đơn vị đo là (N/m).
Nếu chọn gốc thế năng tại vị trí mà lò xo không biến dạng thì ta có: \( {{E}_{t}}=\frac{1}{2}k{{x}^{2}} \) (4.40)
4) Thế năng của lực hấp dẫn
So sánh (4.31) và (4.8) suy ra, thế năng của lực hấp dẫn là:
\( {{E}_{t}}(r)=-G\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r}+C \) (4.41)
Nếu chọn gốc thế năng ở vô cùng thì: \({{E}_{t}}(r)=-G\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{r}\) (4.42)
5) Thế năng của trọng lực
Tương tự, thế năng của trọng lực ở gần mặt đất là: \( {{E}_{t}}=mgh+C \) (4.43)
Với h là độ cao của vật so với mặt đất.
Nếu chọn gốc thế năng tại mặt đất thì: \( {{E}_{t}}=mgh \) (4.44)
B. Các dạng bài tập minh họa
Ví dụ 1. Một trường lực hút xuyên tâm mà độ lớn của lực tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách từ điểm khảo sát đến tâm trường. Tìm thế năng của trường lực này trong hai trường hợp:
a) Chọn gốc thế năng ở vô cùng;
b) Chọn gốc thế năng tại điểm MO cách tâm trường một khoảng rO.
Hướng dẫn giải:
Theo bài, ta có: \( \overrightarrow{F}=-\frac{k}{{{r}^{2}}}.\frac{{\vec{r}}}{r} \), với k là hệ số tỉ lệ, k > 0.
Dấu “-” biểu diễn lực hút.
a) Chọn gốc thế năng ở vô cùng, theo (4.31) thì thế năng tại điểm M cách tâm trường một khoảng r là:
\({{E}_{t}}=\int\limits_{r}^{\infty }{\overrightarrow{F}d\vec{s}}=\int\limits_{r}^{\infty }{\overrightarrow{F}d\vec{r}}=-k\int\limits_{r}^{\infty }{\frac{\vec{r}d\vec{r}}{{{r}^{3}}}}=-k\int\limits_{r}^{\infty }{\frac{dr}{{{r}^{2}}}}=-\frac{k}{r}\)
b) Theo (4.32), ta có: \({{E}_{t}}(M)=-\int{\overrightarrow{F}d\vec{r}}+C=k\int{\frac{dr}{{{r}^{2}}}}+C=-\frac{k}{r}+C\)
vì \( {{E}_{t}}({{M}_{O}})=0\Leftrightarrow -\frac{k}{{{r}_{0}}}+C=0\Leftrightarrow C=\frac{k}{{{r}_{0}}} \)
Vậy: \({{E}_{t}}(M)=\frac{k}{{{r}_{0}}}-\frac{k}{r}\)
Ví dụ 2. Thế năng của một hạt trong trường lực thế có dạng: \( {{E}_{t}}=\frac{a}{{{r}^{2}}}-\frac{b}{r} \), với a, b là những hằng số và r là khoảng cách từ hạt đến tâm trường. Hãy xác định giá trị rO ứng với vị trí cân bằng của hạt; vị trí cân bằng đó có bền không?
Hướng dẫn giải:
(4.38a) suy ra lực thế là: \( F=-\frac{d{{E}_{t}}}{dr}=\frac{2a}{{{r}^{3}}}-\frac{b}{{{r}^{2}}} \)
Tại vị trí cân bằng: \( F=0\Rightarrow {{r}_{O}}=r=\frac{2a}{b} \)
Ta có bảng biến thiên của thế năng:
Từ bảng biến thiên ta thấy, ứng với giá trị rO thì thế năng đạt cực tiểu. Vậy vị trí cân bằng này là này.