Phương trình liên tục của dòng điện

Xét một mặt kín (S) trong môi trường có mật độ dòng điện  \( \overrightarrow{j} \) (hình 3.22). Điện lượng di chuyển qua mặt kín (S) trong một đồng vị thời gian là:  \( \left| \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}} \right| \). Gọi q là điện tích chứa trong mặt kín (S) thì theo định luật bảo toàn điện tích, ta có:  \( \left| \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}} \right|=\left| \frac{dq}{dt} \right| \)   (3.45)

Theo quy ước, pháp tuyến tại mỗi điểm của mặt kín (S) luôn hướng ra ngoài. Do đó, \(\overrightarrow{j}d{{\overrightarrow{S}}_{1}}>0\) và \(\overrightarrow{j}d{{\overrightarrow{S}}_{2}}<0\). Mặt khác, theo hình 3.22, tại dS₁ dòng điện đi ra khỏi mặt kín (S) và tại dS₂, dòng điện đi vào mặt kín (S). Vì vậy, căn cứ vào dấu của  \( \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}} \) ta có thể biết được chiều biến thiên của điện tích q trong mặt kín (S). Cụ thể, nếu  \( \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}>0 \) thì điện lượng đi ra khỏi mặt (S) lớn hơn điện lượng đi vào, do đó điện lượng q chứa trong mặt kín (S) sẽ giảm và  \( \frac{dq}{dt}<0 \); ngược lại, nếu  \( \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}<0 \) thì điện lượng đi vào (S) sẽ lớn hơn điện lượng đi ra khỏi (S), khi đó  \( \frac{dq}{dt}>0 \).

Tóm lại, phương trình (3.45) trở thành: \( \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}=-\frac{dq}{dt} \)    (3.46)

Gọi \( \rho \) là mật độ điện tích thì  \( q=\int\limits_{V}{\rho dV} \) và  \( \frac{dq}{dt}=\frac{d}{dt}\left( \int\limits_{V}{\rho dV} \right)=\int\limits_{V}{\frac{\partial \rho }{\partial t}dV} \)

Vận dụng định lí Gauss trong toán học, biến tích phân mặt về tích phân khối, ta có: \(\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{j}d\overrightarrow{S}}=\int\limits_{(V)}{div\overrightarrow{j}dV}\). Do đó (3.46) trở thành: \(\int\limits_{(V)}{div\overrightarrow{j}dV}=-\int\limits_{(V)}{\frac{\partial \rho }{\partial t}dV}\).

Biểu thức này đúng với mọi thể tích V.

Vì thế ta có:  \( div\overrightarrow{j}=-\frac{\partial \rho }{\partial t} \) hay  \( div\overrightarrow{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=0 \)  (3.47)

(3.47) diễn tả định luật bảo toàn điện tích ở dạng vi phân, nó còn được gọi là phương trình liên tục của dòng điện.

Trong trường hợp dòng điện không đổi (dòng dừng) thì  \( \frac{\partial \rho }{\partial t}=0 \), ta có:  \( div\overrightarrow{j}=0 \)   (3.48)

Phương trình (3.48) cho biết, với bất kì mặt kín (S) nào trong môi trường có dòng dừng thì trong cùng một khoảng thời gian, điện lượng đi vào (S) luôn bằng điện lượng đi ra khỏi (S).