Động lượng và khối lượng của chất điểm chuyển động

Phương trình cơ bản của chuyển động chất điểm trong trường hợp cổ điển là:

 \( \overrightarrow{F}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt} \)      (5.23)  hay  \( \overrightarrow{F}=\frac{d\vec{p}}{dt} \)     (5.24)

Trong đó  \( \vec{p}=m\vec{v} \) là động lượng của chất điểm chuyển động với vận tốc  \( \vec{v} \) và có khối lượng m không đổi. Trong cơ học tương đối, phương trình (5.23) không còn phù hợp mà phải dùng phương trình (5.24), trong đó khối lượng trong công thức của động lượng  \( \vec{p} \) không còn là một hằng số mà thay đổi theo vận tốc của chất điểm. Các công thức đối với động lượng và khối lượng có dạng như sau:

 \( \vec{p}=m\vec{v}=\frac{{{m}_{0}}\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \)       (5.25)

 \( m=\frac{{{m}_{0}}}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \)               (5.26)

Trong các công thức (5.25) và (5.26), m là khối lượng động, nghĩa là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó chuyển động với vận tốc v, còn m_O là khối lượng tĩnh, tức là khối lượng của chất điểm trong hệ mà nó đứng yên. Như vậy khối lượng trong các công thức (3.23) và (3.24) của cơ học cổ điển là khối lượng tĩnh vì khi vận tốc v << c thì  \( \sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}\approx 1 \) và  \( m\approx {{m}_{0}} \).

Bây giờ ta hãy nêu ra lặp luận suy ra các công thức (5.25) và (5.26). Theo định nghĩa trong cơ học cổ điển thì động lượng được xác định theo công thức:

 \( p={{m}_{0}}v={{m}_{0}}\frac{\Delta x}{\Delta t} \)        (5.27)

Trong đó  \( \Delta x  \) là khoảng đường của hạt chuyển động được đo bởi người quan sát còn  \( \Delta t  \) là thời gian cũng do người quan sát đo được. Tuy nhiên trong cơ học tương đối, động lượng xác định theo phương pháp đo như vậy không bảo toàn đối với tất cả các hệ quán tính. Để khắc phục khó khăn đó, torng cơ học tương đối, động lượng được định nghĩa lại như sau:

 \( p={{m}_{0}}\frac{\Delta x}{\Delta t’} \)       (5.28)

Trong đó,  \( \Delta t’ \) là thời gian đo bởi người cùng chuyển động với hạt mà không phải đo bởi người quan sát hạt. Đối với người chuyển động cùng với hạt thì hạt đứng yên, do đó  \( \Delta t’ \) là thời gian riêng của hạt chuyển động.

Theo (5.15) thì  \( \Delta t’=\Delta t\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}} \) hay  \( \frac{\Delta t}{\Delta t’}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \)        (5.29)

Từ (5.28) và (5.29) ta được: \(p={{m}_{0}}\frac{\Delta x}{\Delta t}.\frac{\Delta t}{\Delta t’}={{m}_{0}}v\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\)      (5.30)

Công thức này nếu viết dưới dạng vectơ ta được công thức (5.25), trong đó khối lượng tuân theo công thức (5.26). Theo công thức (5.26) khối lượng của vật tăng lên khi nó chuyển động.