Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương

Sự bất biến của vận tốc ánh sáng dẫn đến kết quả là không gian và thời gian liên quan với nhau và chúng lập thành một không – thời gian duy nhất. Mối liên hệ đó có thể được biểu diễn nhờ không – thời gian 4 chiều tưởng tượng mà theo ba trục người ta đặt các tọa độ không gian x, y, z còn trục thứ tư là trục thời gian t, hay chính xác hơn, là tọa độ thời gian ct, có cùng thứ nguyên như tọa độ không gian. Một biến cố nào đó trong không – thời gian 4 chiều ứng với các tọa độ x, y, z, ct. Ta gọi đó là điểm vũ trụ. Một đường nào đó trong không gian 4 chiều gọi là đường vũ trụ. Bình phương khoảng cách  \( \Delta {{s}^{2}} \) giữa hai điểm vũ trụ được gọi là bình phương khoảng không – thời gian, liên hệ qua bình phương khoảng cách không gian  \( \Delta {{\ell }^{2}}=\Delta {{x}^{2}}+\Delta {{y}^{2}}+\Delta {{z}^{2}} \)  và bình phương khoảng thời gian  \( {{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}} \) như sau:

 \( \Delta {{s}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-\Delta {{\ell }^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-\Delta {{x}^{2}}-\Delta {{y}^{2}}-\Delta {{z}^{2}} \)      (5.16)

Khoảng không – thời gian trong không gian 4 chiều  \( \Delta s  \) bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Thật vậy, giả sử trong hệ Oxyzt khoảng này là  \( \Delta s  \), được xác định theo công thức (5.16). Khoảng không – thời gian trong Ox’y’z’t’ chuyển động với vận tốc V dọc theo trục Ox là  \( \Delta s’ \), được xác định như sau:

 \( \Delta {{s’}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t’}^{2}}-\Delta  {{\ell’}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t’}^{2}}-\Delta {{x’}^{2}}-\Delta {{y’}^{2}}-\Delta {{z’}^{2}} \)      (5.17)

Sử dụng các công thức (5.11) và (5.13) ta có:

 \( \Delta t’=\frac{\Delta t-\frac{V}{{{c}^{2}}}\Delta x}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \) và  \( \Delta x’=\frac{\Delta x-V\Delta t}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \), mặt khác: \(\Delta y’=\Delta y\); \(\Delta z’=\Delta z\)

Từ các công thức này có thể suy ra bằng: \(\Delta {{s’}^{2}}=\Delta {{s}^{2}}\)       (5.18)

Nghĩa là khoảng không – thời gian bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Từ sự bất biến đó ta suy ra sự bất biến của khoảng thời gian riêng như sau:

Từ công thức \(\Delta t’=\Delta t\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}\), ta có:  \( \Delta t’=\frac{1}{c}\sqrt{{{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-{{\left( V\Delta t \right)}^{2}}}=\frac{1}{c}\sqrt{{{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-\Delta {{\ell }^{2}}}=\frac{1}{c}\Delta s  \)    (5.19)

Trong đó:  \( \Delta \ell =V\Delta t  \). Công thức (5.19) cho thấy rằng khoảng thời gian riêng tỉ lệ với khoảng không – thời gian giữa hai biến cố. Khoảng này bất biến nên khoảng thời gian riêng cũng bất biến, tức là không phụ thuộc vào sự chuyển động của vật đã cho được quan sát trong hệ quy chiếu nào.