5.4. Sự co ngắn Lorentz

A. Lý Thuyết

Ta hãy so sánh độ dài và khoảng thời gian trong hai hệ quán tính O và O’.

1) Độ dài 

Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ O’ (Hình 5.3), đặt dọc theo trục O’x’, độ dài của nó torng hệ O’ là:  \( \Delta x’={{x’}_{2}}-{{x’}_{1}} \).

Độ dài của nó trong hệ O là:  \( \Delta x={{x}_{2}}-{{x}_{1}} \).

Dùng các biểu thức:

 \( {{x’}_{2}}=\frac{{{x}_{2}}-V{{t}_{2}}}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \);  \( {{x’}_{1}}=\frac{{{x}_{1}}-V{{t}_{1}}}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \)

Ta xác định được độ dài trong hệ O’:

\(\Delta x’={{x’}_{2}}-{{x’}_{1}}=\frac{\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)-V\left( {{t}_{2}}-{{t}_{1}} \right)}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\)      (5.13)

Nếu độ dài  \( \Delta x  \) được đo trong hệ O tại cùng một thời điểm t2 = t1, thì

 \( {{x’}_{2}}-{{x’}_{1}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \) hay  \( \Delta x=\Delta x’.\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}} \)     (5.14)

Vậy độ dài dọc theo phương chuyển động của thanh trong hệ O nhỏ hơn trong hệ O’, nghĩa là độ dài thanh trong hệ quy chiếu mà thanh chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên. Nói khác đi, khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương chuyển động, gọi là sự co ngắn Lorentz. Do đó, một quả cầu đặt trên con tàu vũ trụ chuyển động rất nhanh so với Trái Đất thì phi hành gia trên tàu vũ trụ nhìn thấy nó có dạng hình cầu còn người quan sát của tàu vũ trụ. Như vậy độ dài có tính tương đối, phụ thuộc vào chuyển động. Khi hệ O’ chuyển động với vận tốc V << c thì công thức (5.14) trở thành  \( \Delta x\approx \Delta x’ \), nghĩa là độ dài không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển.

Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

2) Khoảng thời gian   

Ta hãy xét hai sự kiện tại cùng một điểm (x’, y’, z’) trong hệ O’. Khoảng thời gian giữa hai sự kiện này là  \( \Delta t’={{t’}_{2}}-{{t’}_{1}} \). Ta hãy xác định khoảng thời gian giữa hai sự kiện này trong hệ O. Sử dụng (5.6):

\({{t}_{1}}=\frac{{{t’}_{1}}+\frac{V}{{{c}^{2}}}x’}{\sqrt{1\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\) ; \({{t}_{2}}=\frac{{{t’}_{2}}+\frac{V}{{{c}^{2}}}x’}{\sqrt{1\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\)

Ta có:  \( \Delta t={{t}_{2}}-{{t}_{1}}=\frac{{{t’}_{2}}-{{t’}_{1}}}{\sqrt{1\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \) hay  \( \Delta t’=\Delta t\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}} \)    (5.15)

Như vậy, khoảng thời gian  \( \Delta t’ \) của một quá trình trong hệ O’ chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn khoảng thời gian  \( \Delta t  \) xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ O đứng yên. Nếu trong hệ O’ gắn một đồng hồ và trong hệ O cũng gắn một đồng hồ thì khoảng thời gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ O’ sẽ nhỏ hơn khoảng thời gian ghi trên đồng hồ của hệ O. Điều đó có nghĩa là đồng hồ chuyển động chạy chậm hơn đồng hồ đứng yên. Thời gian được tính theo đồng hồ chuyển động cùng với vật được gọi là thời gian riêng của vật đó. Vậy thời gian riêng luôn luôn bé hơn thời gian được tính theo đồng hồ chuyển động đối với vật. Như vậy khoảng thời gian có tính tương đối và phụ thuộc vào chuyển động. Khi vận tốc V của hệ O’ rất nhỏ hơn vận tốc ánh sáng c thì từ công thức (5.15) ta có \(\Delta t’\approx \Delta t\), tức là khoảng thời gian không phụ thuộc vào chuyển động như đã quan niệm trong cơ học cổ điển.

3) Khoảng không – thời gian  

Sự bất biến của vận tốc ánh sáng dẫn đến kết quả là không gian và thời gian liên quan với nhau và chúng lập thành một không – thời gian duy nhất. Mối liên hệ đó có thể được biểu diễn nhờ không – thời gian 4 chiều tưởng tượng mà theo ba trục người ta đặt các tọa độ không gian x, y, z còn trục thứ tư là trục thời gian t, hay chính xác hơn, là tọa độ thời gian ct, có cùng thứ nguyên như tọa độ không gian. Một biến cố nào đó trong không – thời gian 4 chiều ứng với các tọa độ x, y, z, ct. Ta gọi đó là điểm vũ trụ. Một đường nào đó trong không gian 4 chiều gọi là đường vũ trụ. Bình phương khoảng cách  \( \Delta {{s}^{2}} \) giữa hai điểm vũ trụ được gọi là bình phương khoảng không – thời gian, liên hệ qua bình phương khoảng cách không gian  \( \Delta {{\ell }^{2}}=\Delta {{x}^{2}}+\Delta {{y}^{2}}+\Delta {{z}^{2}} \)  và bình phương khoảng thời gian  \( {{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}} \) như sau:

 \( \Delta {{s}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-\Delta {{\ell }^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-\Delta {{x}^{2}}-\Delta {{y}^{2}}-\Delta {{z}^{2}} \)      (5.16)

Khoảng không – thời gian trong không gian 4 chiều  \( \Delta s  \) bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Thật vậy, giả sử trong hệ Oxyzt khoảng này là  \( \Delta s  \), được xác định theo công thức (5.16). Khoảng không – thời gian trong Ox’y’z’t’ chuyển động với vận tốc V dọc theo trục Ox là  \( \Delta s’ \), được xác định như sau:

 \( \Delta {{s’}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t’}^{2}}-\Delta  {{\ell’}^{2}}={{c}^{2}}\Delta {{t’}^{2}}-\Delta {{x’}^{2}}-\Delta {{y’}^{2}}-\Delta {{z’}^{2}} \)      (5.17)

Sử dụng các công thức (5.11) và (5.13) ta có:

 \( \Delta t’=\frac{\Delta t-\frac{V}{{{c}^{2}}}\Delta x}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \) và  \( \Delta x’=\frac{\Delta x-V\Delta t}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \), mặt khác: \(\Delta y’=\Delta y\); \(\Delta z’=\Delta z\)

Từ các công thức này có thể suy ra bằng: \(\Delta {{s’}^{2}}=\Delta {{s}^{2}}\)       (5.18)

Nghĩa là khoảng không – thời gian bất biến khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác. Từ sự bất biến đó ta suy ra sự bất biến của khoảng thời gian riêng như sau:

Từ công thức \(\Delta t’=\Delta t\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}\), ta có:  \( \Delta t’=\frac{1}{c}\sqrt{{{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-{{\left( V\Delta t \right)}^{2}}}=\frac{1}{c}\sqrt{{{c}^{2}}\Delta {{t}^{2}}-\Delta {{\ell }^{2}}}=\frac{1}{c}\Delta s  \)    (5.19)

Trong đó:  \( \Delta \ell =V\Delta t  \). Công thức (5.19) cho thấy rằng khoảng thời gian riêng tỉ lệ với khoảng không – thời gian giữa hai biến cố. Khoảng này bất biến nên khoảng thời gian riêng cũng bất biến, tức là không phụ thuộc vào sự chuyển động của vật đã cho được quan sát trong hệ quy chiếu nào.

B. Bài tập có hướng dẫn giải

Câu 1.Vật chuyển động phải có vận tốc bao nhiêu để chiều dài của nó giảm đi 25%.

Hướng dẫn giải:

Chiều dài  \( \Delta x  \) của vật chuyển động với vận tốc v liên hệ với chiều dài  \( \Delta x’ \) của vật đó đứng yên như sau:  \( \Delta x=\Delta x’\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}=\Delta x’\sqrt{1-{{\beta }^{2}}} \) trong đó  \( \beta =\frac{V}{c} \).

Độ giảm tương đối của chiều dài là:  \( \delta =\frac{\Delta x’-\Delta x}{\Delta x’}=1-\sqrt{1-{{\beta }^{2}}} \)

Từ đó suy ra:  \( \beta =\sqrt{1-{{\left( 1-\delta  \right)}^{2}}} \). Thay số  \( \delta =0,25 \) ta được  \( \beta =0,6614 \).

Vậy vận tốc của vật:  \( v=\beta c=0,{{6614.3.10}^{8}}\approx 1,{{99.10}^{8}}\text{ }m/s  \).

Câu 2. Có hai con tàu vũ trụ với độ dài bằng nhau và bằng \( \Delta x’=230\text{ }m \). Chúng đi ngược chiều nhau với vận tốc tương đối v (Xem hình vẽ). Một người ở vị trí A của con tàu 1 đo được khoảng thời gian nhìn thấy từ đầu B đến C của con tàu thứ 2 là  \( \Delta t=3,57\text{ }\mu s  \). Hãy xác định vận tốc tương đối v giữa hai con tàu.

Hướng dẫn giải:

Gọi AB là sự kiện điểm A trùng với điểm B còn AC là sự kiện điểm A trùng với điểm C. Khoảng thời gian giữa hai sự kiện AB và AC đo bởi người ở tàu 1 tạu vị trí A là  \( \Delta t=3,57\text{ }\mu s  \). Độ dài của tàu 2 do người nói trên đo được là:  \( \Delta x=v\Delta t=\beta c\Delta t  \), trong đó:  \( \beta =\frac{v}{c} \).

Mặt khác, độ dài  \( \Delta x  \) của tàu 2 do người ở tàu 1 đo được liên hệ với độ dài riêng  \( \Delta x’ \) của tàu 2 như sau:  \( \Delta x=\Delta x’\sqrt{1-{{\beta }^{2}}} \)

Từ hai công thức trên ta được:  \( \beta c\Delta t=\Delta x’\sqrt{1-{{\beta }^{2}}} \)

Nghiệm của phương trình này là:  \( \beta =\frac{\Delta x’}{\sqrt{{{\left( c\Delta t \right)}^{2}}+\Delta x{{‘}^{2}}}} \)

Thay số: c = 3.108 m/s;  \( \Delta t=3,57\text{ }\mu s=3,57.{{ 10}^{-6}}\text{ }s  \);  \( \Delta x’=230\text{ }m  \) ta được:  \( \beta =0,210 \).

Do đó:  \( v=0,{{210.3.10}^{8}}\text{ }m/s=0,{{63.10}^{8}}\text{ }m/s  \)

Câu 3. Trong hệ quán tính O một chớp sáng xanh phát ra tại thời điểm tB và một chớp sáng đỏ phát tiếp theo sau đó tại thời điểm tR, khoảng thời gian giữa hai chớp sáng là \( \Delta t={{t}_{R}}-{{t}_{B}}=5,35\text{ }\mu s \). Nguồn sáng xanh nằm tại tọa độ xB còn nguồn sáng đỏ nằm tại tọa độ xR, khoảng cách giữa hai nguồn sáng là  \( \Delta x={{x}_{R}}-{{x}_{B}}=2,45\text{ }km  \). Hệ quán tính O’ chuyển động dọc theo trục x với vận tốc v so với hệ O và  \( \beta =\frac{v}{c}=0,855 \). Hãy xác định khoảng cách và khoảng thời gian giữa hai nguồn sáng trong hệ O’.

Hướng dẫn giải:

Theo (5.11) và (5.13) thì:

 \( {{t’}_{R}}-{{t’}_{B}}=\frac{{{t}_{R}}-{{t}_{B}}-\frac{v}{{{c}^{2}}}\left( {{x}_{R}}-{{x}_{B}} \right)}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \) hay  \( \Delta t’=\frac{\Delta t-\beta \frac{\Delta x}{c}}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \)

 \( {{x’}_{R}}-{{x’}_{B}}=\frac{\left( {{x}_{R}}-{{x}_{B}} \right)-v\left( {{t}_{R}}-{{t}_{B}} \right)}{\sqrt{1-\frac{{{v}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \) hay  \( \Delta x’=\frac{\Delta x-\beta c\Delta t}{\sqrt{1-{{\beta }^{2}}}} \)

Trong đó:  \( \beta =\frac{v}{c} \). Thay số:  \( \Delta t={{t}_{R}}-{{t}_{B}}=5,35\text{ }\mu s=5,{{35.10}^{-6}}\text{ }s  \);  \( \Delta x={{x}_{R}}-{{x}_{B}}=2,45\text{ }km=2,{{45.10}^{3}}\text{ }m  \);  \( \beta =0,855 \), c = 3.108 m/s, ta được:  \( \Delta x’=2078\text{ }m=2,08\text{ }km  \) và  \( \Delta t’=-3,{{147.10}^{-6}}\text{ }s=-3,15\text{ }\mu s  \).

Kết quả trên cho thấy trong hệ O’, do  \( \Delta x’>0 \) nên tọa độ nguồn sáng đỏ  \( {{x’}_{R}}>{{x’}_{B}} \) như trong hệ O nhưng khoảng cách giữa hai nguồn bằng 2,08 km, nhỏ hơn khoảng cách giữa hai nguồn trong hệ O (2,45 km). Về mặt thời gian, do  \( \Delta t'<0 \) nên  \( {{t’}_{R}}<{{t’}_{B}} \), tức là nguồn sáng đỏ chớp trước nguồn sáng xanh, điều này ngược lại thứ tự trong hệ O, tại đó nguồn sáng xanh chớp trước nguồn sáng đỏ.


error: Content is protected !!
MENU
Trang Chủ