Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương

Phép biến đổi Galilée dẫn tới quy luật cộng vận tốc, mà quy luật này mâu thuẫn với nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng. Như vậy phép biến đổi Galilée không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương đối. Phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này sang hệ quán tính khác thỏa mãn các yếu cầu của thuyết tương đối là phép biến đổi Lorentz.

Xét hai hệ quán tính Oxyz và O’x’y’z’, hệ O’ chuyển động so với hệ O với vận tốc V theo phương x (Hình 5.2). Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ của hai hệ trùng nhau. Gọi (x, y, z, t) và (x’, y’, z’, t’) là các tọa độ không gian và thời gian trong các hệ O và O’.

Gốc tọa độ O’ của hệ O’ có tọa độ x’ = 0 trong hệ O’ và  \( x=Vt  \) trong hệ O. Do đó, biểu thức  \( x-Vt  \) phải triệt tiêu đồng thời với tọa độ x’. Muốn thế phép biến đổi tuyến tính phải có dạng:  \( x’=\alpha \left( x-Vt \right) \)      (5.1)

Trong đó  \( \alpha  \) là một hằng số nào đó. Tương tự, gốc tọa độ O của hệ O có tọa độ x = 0 trong hệ O và  \( x’=-Vt’ \) trong hệ O’. Do đó ta có:  \( x=\beta \left( x’+Vt’ \right) \)      (5.2)

Theo nguyên lý tương đối Einstein, mọi định luật vật lý đều như nhau trong các hệ quy chiếu quán tính. Như vậy các phương trình (5.1) và (5.2) có thể suy ra lẫn nhau bằng cách thay  \( V\Leftrightarrow -V  \),  \( x\Leftrightarrow x’ \) và  \( t\Leftrightarrow t’ \), do đó  \( \beta =\alpha  \).

Theo nguyên lý bất biến của vận tốc ánh sáng, nếu trong hệ O ta có  \( x=ct  \) thì trong hệ O’ ta có  \( x’=ct’ \). Thay các biểu thức này vào (5.1) và (5.2), ta được:  \( ct’=\alpha \left( ct-Vt \right)=\alpha t\left( c-V \right) \)       (5.3a)

 \( ct=\alpha \left( ct’+Vt’ \right)=\alpha t’\left( c+V \right) \)      (5.3b)

Nhân cả hai hệ thức với nhau ta đi tới phương trình:  \( {{c}^{2}}={{\alpha }^{2}}\left( {{c}^{2}}-{{V}^{2}} \right) \)

Từ đó ta có:  \( \alpha =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \)       (5.4)

Thay \(\alpha \) vào (5.1) và \(\beta =\alpha \) vào (5.2) ta được:

 \( x’=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \);  \( x=\frac{x’-Vt’}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \)         (5.5)

Mặt khác, sự phụ thuộc giữa t và t’ là:

\(t’=\frac{t-\frac{V}{{{c}^{2}}}x}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\); \(t=\frac{t’-\frac{V}{{{c}^{2}}}x’}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\)      (5.6)

Do hệ O’ chuyển động dọc theo trục x nên y = y’ và z = z’. Vì vậy ta được các công thức biến đổi Lorentz như sau:

 \( x’=\frac{x-Vt}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \);  \( y’=y  \);  \( z’=z  \);  \( t’=\frac{t-\frac{V}{{{c}^{2}}}x}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}} \)          (5.7)

\(x=\frac{x’+Vt’}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\); \(y=y’\); \(z=z’\); \(t=\frac{t’+\frac{V}{{{c}^{2}}}x’}{\sqrt{1-\frac{{{V}^{2}}}{{{c}^{2}}}}}\)            (5.8)

Từ các biểu thức (5.7) và (5.8) ta thấy rằng khi  \( c\to \infty  \) hay khi  \( \frac{V}{c}\to 0 \) thì chúng trở thành:  \( x’=x-Vt;y’=y;z’=z;t’=t  \)     (5.9)

 \( x=x’+Vt’;y=y’;z=z’;t=t’ \)    (5.10)

Nghĩa là trở thành các công thức biến đổi Galilée trong cơ học cổ điển.