Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
Bài toán Điện trường của một đĩa tích điện
Ví dụ 1. Đĩa trên hình vẽ dưới đây, có bán kính R = 2,5 cm và mật độ điện tích mặt \( \sigma =+5,3\text{ }\mu C/{{m}^{2}} \) ở mặt trên của nó. (Đó là một giá trị có thể cho mật độ điện tích mặt trên trống hình trụ nhạy quay của một máy photocopy).
a) Hỏi điện trường ở một điểm nằm trên trục qua tâm và cách đĩa một khoảng z = 12 cm.
b) Hỏi điện trường ở trên mặt của đĩa?
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
\(E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+{{R}^{2}}}} \right)=\frac{5,{{3.10}^{-6}}C/{{m}^{2}}}{2.\left( 8,{{85.10}^{-12}}{{C}^{2}}/N.{{m}^{2}} \right)}\times \left( 1-\frac{12cm}{\sqrt{{{\left( 12cm \right)}^{2}}-{{\left( 2,5cm \right)}^{2}}}} \right)=6,{{3.10}^{3}}N/C\)
(giá trị của R và z được tính bằng cm vì trong công thức chứa tỉ số của hai độ dài đó).
b)
\( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{5,{{4.10}^{-6}}C/{{m}^{2}}}{2.\left( 8,{{85.10}^{-12}}{{C}^{2}}/N{{m}^{2}} \right)}=3,{{0.10}^{5}}\text{ }N/C \)
Giá trị này đúng với mọi điểm nằm gần mặt và không gần mép của đĩa.
Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Đại Cương (Cơ - Nhiệt - Điện Từ - Quang - VLNT-HN)
- Sách Giải Bài Tập Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Kỹ Thuật - Vật Lý Lý Thuyết
- Lịch học sắp xếp linh động, sáng - chiều - tối đều học được!
- Thời gian học từ 1,5h - 2h/1 buổi!
Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình \( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+{{R}^{2}}}} \right) \) cho điện trường của một đĩa tích điện ở các điểm nằm trên trục của nó quy về biểu thức cho điện trường của một điện tích điểm với \( z>>R \).
Hướng dẫn giải:
Cường độ điện trường do đĩa (O,R) tích điện đều mật độ điện mặt \( \sigma =\frac{q}{\pi {{R}^{2}}} \) gây ra tại 1 điểm P trên trục cho bởi: \( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+{{R}^{2}}}} \right) \), với z = OP
Khi z >> R, nghĩa là: \( \frac{R}{z}<<1 \), ta có thể viết:
\( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left( 1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{{{R}^{2}}}{{{z}^{2}}}}} \right)=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left[ 1-{{\left( 1+\frac{{{R}^{2}}}{{{z}^{2}}} \right)}^{-1/2}} \right] \) \( =\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left[ 1-\left( 1-\frac{1}{2}\frac{{{R}^{2}}}{{{z}^{2}}}+… \right) \right] \)
Gần đúng: \( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2}\frac{{{R}^{2}}}{{{z}^{2}}}=\frac{1}{2{{\varepsilon }_{0}}}.\frac{q}{\pi {{R}^{2}}}\frac{{{R}^{2}}}{2{{z}^{2}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{q}{{{z}^{2}}} \)
Ngược lại, khi R >> z (đĩa trở thành 1 mặt phẳng vô hạn tích diện đều), ta có thể viết:
\( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left[ 1-\frac{1}{\infty } \right]=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}} \)
Lúc đó giá trị của E không phụ thuộc z.
Ví dụ 3.
a) Hỏi điện tích tổng cộng q mà đĩa trong Ví dụ 2 (ở bài phía trên) có để cho điện trường trên mặt đĩa ở tâm của nó đạt giá trị làm cho có sự phóng điện trong không khí, tạo nên tia điện (xem bảng dưới đây).
b) Giả thử mỗi nguyên tử ở trên mặt có một tiết diện ngang hiệu dụng là 0,015 nm2. Hỏi có bao nhiêu nguyên tử nằm ở trên mặt đĩa?
c) Điện tích ở ý a) có từ một nguyên tử ở trên mặt ngang một electron dư. Hỏi tỉ lệ số các nguyên tử bề mặt phải được tích điện như vậy.
Hướng dẫn giải:
a) Điện trường khi có phóng điện trong không khí: E = 3.1016 N/C
Mặt khác: \( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+{{R}^{2}}}} \right) \)
Khi z = 0 (tại tâm) thì: \( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{2{{\varepsilon }_{0}}}.\frac{q}{\pi {{R}^{2}}}=k\frac{2q}{{{R}^{2}}} \)
Suy ra: \( q=\frac{E{{R}^{2}}}{2k}=\frac{{{3.10}^{16}}.{{\left( 2,{{5.10}^{-5}} \right)}^{2}}}{{{2.9.10}^{9}}}=1,{{04.10}^{3}}\text{ }C \)
b) Nếu mỗi nguyên tử có diện tích hiệu dụng trên mặt đĩa là SO = 0,015 nm2 = 0,015.10-18 m2 thì số nguyên tử tổng cộng trên mặt đĩa là: \( N=\frac{S}{{{S}_{O}}}=\frac{\pi {{R}^{2}}}{{{S}_{O}}} \)
và số nguyên tử tích điện là: \( {{N}_{1}}=\frac{q}{e} \)
c) Tỉ số phải tìm là: \( \frac{{{N}_{1}}}{{{N}_{2}}}=\frac{\frac{q}{e}}{\frac{\pi {{R}^{2}}}{{{S}_{O}}}}=\frac{E{{R}^{2}}}{2k}.\frac{{{S}_{O}}}{\pi {{R}^{2}}}=\frac{E{{S}_{O}}}{2k\pi } \)
Ví dụ 4. Ở khoảng cách nào dọc theo trục qua tâm của một đĩa nhựa tích điện đều với bán kính R thì ở cường độ điện trường bằng ½ giá trị của điện trường ở tâm đĩa?
Hướng dẫn giải:
Điện trường tại 1 điểm P, (OP = z) có cường độ: \( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}}\left( 1-\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+{{R}^{2}}}} \right) \)
Tại tâm (z = 0), thì: \( E=\frac{\sigma }{2{{\varepsilon }_{0}}} \)
Ta phải có, \( E=\frac{1}{2}{{E}_{O}} \) \( \Rightarrow 1-\frac{z}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{z}^{2}}}}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{z}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{z}^{2}}}}=\frac{1}{2} \)
\( \Rightarrow {{R}^{2}}+{{z}^{2}}=4{{z}^{2}}\Rightarrow z=\frac{R}{\sqrt{3}} \)
