1.5. Định lí Gauss

A. Lý Thuyết

1. Nội dụng định lý

Xét điện tích điểm Q > 0, gây ra điện trường xung quanh nó. Bao quanh Q một mặt cầu (S), tâm là Q, bán kính r. Điện thông gởi qua mặt cầu này là:

 \[ {{\Phi }_{E}}=\oint\limits_{(S)}{s{{\Phi }_{E}}}=\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}} \]

Do tính đối xứng cầu nên E = const tại mọi điểm trên mặt cầu và pháp vectơ đơn vị  \( \vec{n} \) của mặt (S) luôn trùng với cường độ điện trường  \( \vec{n} \) của mặt (S) luôn trùng với cường độ điện trường  \( \overrightarrow{E} \) tại mỗi điểm (hình 1.23). Do đó, điện thông gởi qua mặt cầu (S) là:

\({{\Phi }_{E}}=\oint\limits_{(S)}{EdS}=E\oint\limits_{(S)}{dS}\)\(=ES=\frac{kQ}{\varepsilon {{r}^{2}}}.4\pi {{r}^{2}}=\frac{4\pi kQ}{\varepsilon }\)

Thay  \( k=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \), ta được:  \( {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \) (1.47)

Công thức (1.47) chứng tỏ điện thông không phụ thuộc vào bán kính r của mặt cầu. Suy ra đối với bất kì mặt cầu nào đồng tâm với (S), ví dụ (S1), hình 1.24, ta cũng có kết quả (1.47). Điều này chứng tỏ, trong khoảng không gian giữa hai mặt cầu (S) và (S1), nơi không có điện tích, các đường cảm ứng điện là liên tục, không bị mất đi và cũng không thêm ra. Do đó, nếu xét mặt kín (S2) bất kì bao quanh Q thì điện thông gởi qua (S2) cũng được tính theo (1.47).

Nếu có mặt kín (S3) không quanh Q thì có bao nhiêu đường cảm ứng điện đi vào (S3) thì cũng có bấy nhiêu đường cảm ứng điện đi ra khỏi (S3) nên điện thông gởi qua (S3) sẽ bằng không.

Kết quả (1.47) cũng đúng cho cả trường hợp bên trong mặt kín chứa nhiều điện tích, khi đó Q là tổng đại số các điện tích bên trong mặt kín. Từ đó ta có định lý Gauss hay định lí Ostrogradsky – Gauss, hay gọi tắt là định lí O – G: Điện thông gởi qua một mắt kín bất kì bằng tổng đại số các điện tích chứa trong mặt kín đó chia cho hằng số  \( {{\varepsilon }_{0}} \) và hệ số điện môi  \( \varepsilon  \).

 \( {{\Phi }_{E}}=\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\frac{\sum{{{Q}_{trong\text{ }(S)}}}}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \) (1.48a)

Nhân cả hai vế của (1.48) với tích  \( \varepsilon {{\varepsilon }_{0}} \), ta được: \(\oint\limits_{(S)}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\sum{{{Q}_{trong\text{ }(S)}}}\)

hay \({{\Phi }_{D}}=\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{D}d\overrightarrow{S}}=\sum{{{Q}_{trong\text{ }(S)}}}\) (1.48b)

và do đó, định lí Gauss còn được phát biểu là: thông lượng điện cảm gởi qua một mặt kín bất kì bằng tổng đại số các điện tích bên trong mặt kín đó.

Các công thức (1.48a) và (1.48b) được gọi là dạng tích phân của định lí Gauss. Trong trường hợp điện tích phát biểu liên tục, ta có thể biểu diễn (1.48a) và (1.48b) dưới dạng vi phân bằng các vận dụng công thức Gauss, biến một tích phân mặt thành tích phân khối:

 \( \oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{E}.d\overrightarrow{S}}=\oint\limits_{(V)}{div\overrightarrow{E}.dV} \) (1.49)

Mặt khác, điện tích trong mặt Gauss phân bố liên tục, nên ta có:

 \( \sum{{{Q}_{trong\text{ }(S)}}=\int\limits_{(V)}{\rho .dV}} \) (1.50)

Thay (1.49) và (1.50) vào (1.48a), ta suy ra:  \( div\overrightarrow{E}=\frac{\rho }{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \) (1.51)

Tương tự, đối với điện cảm  \( \overrightarrow{D} \), ta có:  \( div\overrightarrow{D}=\rho  \) (1.52)

(1.51), (1.52) là dạng vi phân của định lí Gauss. Nó diễn tả mối quan hệ giữa cường độ điện trường  \( \overrightarrow{E} \), điện cảm  \( \overrightarrow{D} \) – là đại lượng đặc trưng cho điện trường với mật độ điện tích  \( \rho \)  – là đại lượng đặc trưng cho tính chất của môi trường tại từng điểm trong điện trường.

Nhận Dạy Kèm Vật Lý Đại Cương Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...

2. Vận dụng định lý Gauss để tính cường độ điện trường

Định lí Gauss thường được sử dụng để tính cường độ điện trường của một số hệ điện tích phân bố đối xứng không gian, cụ thể là đối xứng cầu, đối xứng trụ và đối đối xứng phẳng gây ra. Muốn vậy, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chọn mặt kín (S), gọi là mặt Gauss, đi qua điểm khảo sát, sao cho việc tính điện thông  \( {{\Phi }_{E}} \) hoặc thông lượng điện cảm  \( {{\Phi }_{D}} \) được đơn giản nhất. Để làm được điều đó, ta phải căn cứ vào dạng đối xứng của hệ đường sức điện để suy ra quỹ tích những điểm có cùng độ lớn vectơ cường độ điện trường với điểm khảo sát.

Bước 2: Tính điện thông  \( {{\Phi }_{E}} \) hoặc thông lượng điện cảm  \( {{\Phi }_{D}} \) gởi qua mặt Gauss (S); tính tổng điện tích Q chứa trong (S).

Bước 3: Thay vào (1.47) hoặc (1.48) suy ra đại lượng cần tính.

B. Bài tập có hướng dẫn giải

Câu 1. Điện tích điểm \( {{Q}_{1}}=5\mu C  \),  \( {{Q}_{2}}=-4\mu C  \) và  \( {{Q}_{3}}=-2\mu C  \) lần lượt đặt tại A, B, C trong không khí. Biết A, B, C theo thứ tự đó thẳng hàng, AB = 8 cm, BC = 15 cm. Tính điện thông của hệ điện tích gửi qua các mặt cầu tâm B, bán kính lần lượt là 5 cm, 10 cm, 20 cm

Hướng dẫn giải:

Xét các mặt cầu (S1), (S2) và (S3) có tâm B, bán kính lần lượt là 5 cm, 10 cm và 20 cm (hình 1.26).

 

Ta thấy bên trong (S1) có duy nhất điện tích Q2. Do đó, theo định lí O – G, điện thông gửi qua mặt cầu (S1) là:

 \( {{\Phi }_{E}}=\frac{\sum{{{Q}_{i}}}}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{{{Q}_{2}}}{{{\varepsilon }_{0}}} \)

 \( {{\Phi }_{E}}=\frac{-{{4.10}^{-6}}}{8,{{85.10}^{-12}}}=-4,{{52.10}^{5}}\text{ }Vm  \)

Bên trong (S2) có điện tích Q1 và Q2 nên điện thông gửi qua mặt cầu (S2) là:

 \( {{\Phi }_{E}}=\frac{\sum{{{Q}_{i}}}}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}}{{{\varepsilon }_{0}}} \)

 \( {{\Phi }_{E}}=\frac{(5-4){{.10}^{-6}}}{8,{{85.10}^{-12}}}=5,{{41.10}^{5}}\text{ }Vm  \)

Tương tự, điện thông gửi qua mặt cầu (S3) là:

\({{\Phi }_{E}}=\frac{\sum{{{Q}_{i}}}}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{{{Q}_{1}}+{{Q}_{2}}+{{Q}_{3}}}{{{\varepsilon }_{0}}}\)\(=\frac{(5-4-2){{.10}^{-6}}}{8,{{85.10}^{-12}}}=-5,{{41.10}^{5}}\text{ }Vm\)

Câu 2. Xác định cường độ điện trường gây bởi khối cầu tâm O, bán kính a, tích điện đều với mật độ điện tích khối \( \rho >0 \) tại những điểm bên trong và bên ngoài khối cầu. Giả sử hệ số điện môi bên trong và bên ngoài khối cầu đều bằng \varepsilon .

Áp dụng số: Cho a = 20 cm,  \( \rho =2,{{4.10}^{-6}}C/{{m}^{3}} \),  \( \varepsilon =1 \), tính cường độ điện trường tại các điểm cách tâm khối cầu 10 cm và 40 cm.

Hướng dẫn giải:

Do tính đối xứng tâm O nên hệ đường sức là những đường thẳng xuyên tâm và hướng xa tâm O, vì  \( \rho >0 \). Suy ra, các điểm có cùng độ lớn vectơ cường độ điện trường E phải cách đều tâm O.

a) Xét điểm M nằm ngoài khối cầu

Bước 1: Cho mặt Gauss (S) là mặt cầu tâm O bán kính r (r > a), đi qua điểm khảo sát M (hình 1.27).

Bước 2: Điện thông gởi qua mặt (S):

\({{\Phi }_{E}}=\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\oint\limits_{(S)}{EdS}=E\oint\limits_{(S)}{dS}=ES=E.4\pi {{r}^{2}}\)

Tổng điện tích chứa trong mặt (S):

 \( Q=\int\limits_{(V)}{\rho dV}=\rho \int\limits_{(V)}{dV}=\rho V=\rho .\frac{4}{3}\pi {{a}^{3}} \)

Với  \( V=\frac{4}{3}\pi {{a}^{3}} \) là thể tích khối cầu.

Bước 3: Thay vào (1.47), ta có: \({{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow E.4\pi {{r}^{2}}=\frac{4\pi \rho {{a}^{3}}}{3\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\)

Từ đó suy ra:  \( E=\frac{\rho {{a}^{3}}}{3\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}=\frac{3Q}{3.4\pi \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}}=\frac{kQ}{\varepsilon {{r}^{2}}} \) hay  \( \overrightarrow{E}=\frac{kQ}{\varepsilon {{r}^{2}}}.\frac{{\vec{r}}}{r} \) (1.53)

(1.53) chứng tỏ, toàn bộ quả cầu giống như một điện tích điểm đặt tại tâm O.

Vậy, một quả cầu tích điện đều sẽ gây ra điện trường quanh nó giống như điện trường gây bởi điện tích điểm Q đặt tại tâm quả cầu, Q là điện tích của toàn quả cầu.

Áp dụng số: Ta có a = 20 cm = 0,2m; r = 40 cm = 0,4 m; \varepsilon =1

Do đó, cường độ điện trường tại các điểm nằm ngoài quả cầu, cách tâm quả cầu 40 cm là:  \( E=\frac{kQ}{\varepsilon {{r}^{2}}}=\frac{{{9.10}^{9}}{{.8.10}^{-8}}}{1.0,{{4}^{2}}}=4500\text{ }V/m  \).

b) Xét điểm M bên trong khối cầu:

Tương tự như trên, ta cũng chọn mặt Gauss (S) là mặt cầu tâm O, bán kính r (r < a) đi qua điểm khảo sát M (hình 1.28).

Điện thông gởi qua mặt (S):

 \( {{\Phi }_{E}}=\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\oint\limits_{(S)}{EdS}=E\oint\limits_{(S)}{dS}=ES=E.4\pi {{r}^{2}} \)

Tổng điện tích chứa trong mặt (S): \(Q=\oint\limits_{(V)}{\rho dV}=\rho \oint\limits_{(V)}{dV}=\rho V=\rho .\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\) với \(V=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}\) là thể tích không gian chứa trong mặt (S).

Thay vào biểu thức (1.47) của định lí Gauss:

 \( {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow E.4\pi {{r}^{2}}=\frac{4\pi \rho {{r}^{3}}}{3\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \)

Hay   \( \overrightarrow{E}=\frac{\rho \vec{r}}{3\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \) (1.54)

Công thức (1.54) chứng tỏ rằng, bên trong khối cầu, cường độ điện trường tỉ lệ thuận với khoảng cách r từ điểm khảo sát tới tâm khối cầu và có phương xuyên tâm.

Áp dụng số: với  \( \rho =2,{{4.10}^{-6}}C/{{m}^{3}} \),  \( \varepsilon =1 \), r = 10 cm = 0,1 m thì cường độ điện trường tại các điểm bên trong khối cầu, cách tâm khối cầu 10 cm sẽ có giá trị là:

 \( E=\frac{\rho r}{3\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{2,{{4.10}^{-6}}.0,1}{3.1.8,{{85.10}^{-12}}}\approx 9000\text{ }V/m  \)

Các kết quả (1.53) và (1.54) vẫn đúng trong trường hợp khối cầu tích điện âm, khi đó vectơ cường độ điện trường hướng vào tâm O.

Câu 3. Xác định cường độ điện trường gây bởi mặt phẳng (P) rộng vô hạn, tích điện đều với mật độ điện mật \( \sigma >0 \). Cho biết hệ số điện môi của môi trường xung quanh (P) là  \( \varepsilon  \).

Áp dụng số:  \( \sigma =3,{{54.10}^{-9}}C/{{m}^{2}} \),  \( \varepsilon =1 \), tính cường độ điện trường tại những điểm cách (P) 10 cm và 20 cm.

Hướng dẫn giải:

Do điện tích dương phân bố đều và mặt phẳng (P) là rộng vô hạn nên các đường sức điện trường phải vuông góc với (P) và hướng ra xa (P). Quỹ tích của những điểm có cùng giá trị cường độ điện trường E là hai mặt phẳng đối xứng qua (P).

Chon mặt Gauss (S) là mặt trụ có hai đáy song song, cách đều (P), đáy trên đi qua điểm khảo sát M, có đường sinh vuông góc với (P) (hình 1.29).

Điện thông gởi qua mặt (S) là:

 \( {{\Phi }_{E}}=\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\int\limits_{xung\text{ }quanh}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}+\int\limits_{\text{đáy trên}}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}+\int\limits_{\text{đáy dưới}}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}} \)

Vì ở mặt đáy, ta có: E = const và \( \overrightarrow{E}\uparrow \uparrow \vec{n}\); còn ở mặt xung quanh thì \( \overrightarrow{E}\bot \vec{n} \)  nên:

 \( {{\Phi }_{E}}=0+\int\limits_{\text{day tren}}{EdS}+\int\limits_{\text{day duoi}}{EdS}=2E\int\limits_{\text{day}}{dS}=2ES  \)

Mặt khác, tổng điện tích chứa trong mặt Gauss chính là tổng điện tích nằm trên tiết diện S do mặt phẳng (P) cắt khối trụ (S). Ta có:

 \( Q=\int\limits_{(S)}{\sigma dS}=\sigma \int\limits_{(S)}{dS}=\sigma S\). Vì  \( {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \)  nên  \( 2ES=\frac{\sigma S}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \).

Từ đó suy ra:  \( E=\frac{\sigma }{2\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \) hay  \( \overrightarrow{E}=\frac{\sigma }{2\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}.{{\vec{n}}_{0}} \) (1.55)

Trong đó,  \( {{\vec{n}}_{0}} \) là pháp vectơ đơn vị của mặt phẳng (P). Quy ước,  \( {{\vec{n}}_{0}} \) hướng ra xa mặt phẳng (P).

Trường hợp mặt phẳng (P) tích điện âm ( \( \sigma <0 \)) thì (1.55) vẫn đúng. Lúc đó,  \( \overrightarrow{E} \) hướng lại gần (P). Kết quả (1.55) chứng tỏ rằng, cường độ điện trường không phụ thuộc vào vị trí điểm khảo sat M.

Vậy điện trường do mặt phẳng tích điện đều gây ra là điện trường đều.

Áp dụng số: với  \( \sigma =3,{{54.10}^{-9}}\text{ }C/{{m}^{2}} \),  \( \varepsilon =1 \) thì cường độ điện trường tại những điểm cách (P) 10 cm và 20 cm đều có cùng một giá trị là:

\(E=\frac{\sigma }{2\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}}=\frac{3,{{54.10}^{-9}}}{2.1.8,{{85.10}^{-12}}}=200\text{ }V/m\)

Câu 4. Xác định cường độ điện trường gây bởi một sợi dây thẳng dài vô hạn, tích điện đều với mật độ điện dài \( \lambda >0 \) gây ra tại điểm M cách sợi dây một khoảng h. Cho biết hệ số điện môi của môi trường xung quanh sợi dây là  \( \varepsilon  \).

Áp dụng số:   \( \varepsilon =1 \),  \( \lambda ={{5.10}^{-9}}C/m  \), tính cường độ điện trường tại những điểm cách sợi dây một khoảng h = 10 cm.

Hướng dẫn giải:

Do điện tích dương phân bố đều dọc theo sợi dây dài vô hạn nên các đường sức điện trường phải vuông góc với sợi dây và hướng ra xa sợi dây. Quỹ tích của những điểm có cùng giá trị cường độ điện trường E là mặt trục có trục là sợi dây.

Chọn mặt Gauss (S) là mặt trụ bán kính r, có trục là sợi dây, đi qua điểm khảo sát M, hình 1.30. Điện thông gởi qua mặt (S) là:

\({{\Phi }_{E}}=\oint\limits_{(S)}{\overrightarrow{E}d\overrightarrow{S}}=\int\limits_{xung\text{ }quanh}{EdS}=E{{S}_{xq}}=E.2\pi r\ell \)

Trong đó  \( \ell  \) là chiều cao của hình trụ và  \( {{S}_{xq}}=2\pi r\ell  \) là diện tích xung quanh của mặt (S).

Tổng điện tích chứa trong mặt (S):  \( Q=\int\limits_{(\ell )}{\lambda d\ell }=\lambda \int\limits_{(\ell )}{d\ell }=\lambda \ell  \).

Thay vào biểu thức của định lí Gauss:  \( {{\Phi }_{E}}=\frac{Q}{\varepsilon {{\varepsilon }_{0}}} \), suy ra:  \( E=\frac{\lambda }{2\pi \varepsilon {{\varepsilon }_{0}}r}=\frac{2k\lambda }{\varepsilon r} \) (1.56)

Kết quả (1.56) phù hợp với (1.39).

Trường hợp sợi dây tích điện âm, ta cũng có kết quả tương tự.

Vậy, cường độ điện trường do sợi dây dài vô hạn, tích điện đều gây ra có đặc điểm:

+ Phương: vuông góc với sợi dây.

+ Chiều hướng ra xa sợi dây nếu sợi dây tích điện dương và hướng lại gần sợi dây, nếu sợi dây tích điện âm.

+ Độ lớn:  \( E=\frac{2k\left| \lambda  \right|}{\varepsilon r} \), r là khoảng cách từ điểm khảo sát M tới sợi dây.

+ Điểm đặt: tại điểm khảo sát M.

Áp dụng số: với  \( \varepsilon =1 \),  \( \lambda ={{5.10}^{-9}}C/m  \) thì cường độ điện trường tại những điểm cách sợi dây một khoảng h = 10 cm = 0,1 m sẽ có giá trị là:

 \( E=\frac{2k\lambda }{\varepsilon r}=\frac{{{2.9.10}^{9}}{{.5.10}^{-9}}}{1.0,1}=900\text{ }V/m  \)

Các bài viết cùng chủ đề!

Các Sách Giải Bài Tập - Đề Thi do Trung tâm phát hành!


error: Content is protected !!
MENU
Trang Chủ