Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
2.2. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng
1. Điều kiện cân bằng
Định lý: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là vectơ chính và moment của hệ lực đối với một điểm bất kỳ phải đồng thời bằng 0.
\(\left( {{\overrightarrow{F}}_{1}},{{\overrightarrow{F}}_{2}},…,{{\overrightarrow{F}}_{n}} \right)\sim 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \overrightarrow{{{R}’}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{\overrightarrow{F}}_{k}}=0} \\ & {{\mathcal{M}}_{O}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{O}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})=0} \\ \end{align} \right. \) (2.1)
Dựa vào các dạng chuẩn của hệ lực phẳng thì định lý này hiển nhiên.
Nhận Dạy Kèm môn Cơ Học Kỹ Thuật (Cơ học cơ sở) - Engineering Mechanics Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Kỹ Thuật gồm:
- Cơ Học Kỹ Thuật (Cơ Học Cơ Sở) - Engineering Mechanics
- Sức Bền Vật Liệu - Mechanics of Materials
- Cơ Lưu Chất - Fluid Mechanics
- Sách Giải Bài Tập của các bộ Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Lý Thuyết
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên, Ôn Thi Đại Học môn Vật lý
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
2. Các phương trình cân bằng
a) Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hình chiếu các lực lên 2 trục tọa độ vuông góc mặt phẳng bằng 0 và tổng moment các lực đối với 1 điểm bất kỳ bằng O.
\( \left\{ \begin{align} & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{F}_{kx}}}=0 \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{F}_{ky}}}=0 \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{O}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})}=0 \\ \end{align} \right. \) (2.2)
Hai phương trình đầu tương đương với \( \overrightarrow{{{R}’}}=0 \); phương trình cuối tương đương \( {{\mathcal{M}}_{O}}=0 \).
b) Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng hợp chất các lực lên một trục nào đó bằng 0 và tổng moment các lực đối với 2 điểm A và B tùy ý triệt tiêu với điều kiện AB không vuông góc trục chiếu lực.
\( \left\{ \begin{align} & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{F}_{kx}}}=0 \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{A}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})}=0 \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{B}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})}=0 \\ \end{align} \right. \) với \( x\cancel{\bot }AB \) (2.3)
Chứng minh: (Hình 2.7)
Điều kiện cần suy ra từ (2.1). Ta chứng minh điều kiện đủ: Giả sử (2.3) thỏa mãn, ta chứng minh hệ cân bằng. Giả sử hệ lực không cân bằng, khi đó theo kết luận đạng chuẩn nó chỉ có thể tương đương hoặc ngẫu lực hoặc hợp lực.
Nó không thể tương đương ngẫu lực được vì giả sử \( {{\mathcal{M}}_{O}}\ne 0 \) thì chuyển hệ về A chẳng hạn, ta có:
\( {{\mathcal{M}}_{O}}={{\mathcal{M}}_{A}}+{{\tilde{m}}_{O}}(\overrightarrow{{{R}_{A}}})=0\Rightarrow \) vô lý
Không tương đương hợp lực được vì giả sử \( \left( {{\overrightarrow{F}}_{1}},{{\overrightarrow{F}}_{2}},…,{{\overrightarrow{F}}_{n}} \right)\sim \overrightarrow{R} \) thì \( \overrightarrow{R} \) không thể thỏa mãn đồng thời 3 phương trình (2.3).
Vậy, hệ cân bằng.
c) Dạng 3: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng cân bằng là tổng moment của các lực ấy lấy với 3 điểm A, B, C không thẳng hàng bằng 0.
\( \left\{ \begin{align} & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{A}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})}=0 \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{B}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})}=0 \\ & \sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{C}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})}=0 \\ \end{align} \right. \) trong đó A, B, C không thẳng hàng. (2.4)
Chứng minh: Điều kiện cần suy trực tiếp từ (2.1). Ta chứng minh điều kiện đủ. Dùng phương pháp phản chứng: Giả sử hệ lực không cân bằng, như vậy theo kết luận của dạng chuẩn nó còn có thể hoặc thu về ngẫu lực, hoặc thu về một hợp lực. Ngẫu lực không đúng vì nếu tương đương với ngẫu lực thì phải có \( {{\mathcal{M}}_{O}}\ne 0 \), với phương trình \( \sum\limits_{k=1}^{n}{{{{\tilde{m}}}_{A}}({{\overrightarrow{F}}_{k}})}=0 \) thì \( {{\mathcal{M}}_{O}}\ne 0 \) là vô lý. Vậy hệ thu về một hợp lực \( \overrightarrow{R} \), hợp lực này không thể thỏa mãn đồng thời cả 3 phương trình (2.4) vì A, B, C không thẳng hàng.
Vậy, hệ cân bằng.
Sách Giải Bài Tập Cơ Học Kỹ Thuật!
3. Hệ lực phân bố
Hệ lực phân bố là hệ lực được bố trí trên một đoạn theo một quy luật nhất định gọi là hàm phân bố.
Xét trên đoạn MN dọc theo trục x có hệ lực phân bố với hàm phân bố f(x). Ta cần xác định hợp lực của nó và điểm đặt của hợp lực này (Hình 2.14).
\( R=\sum{f(x).\Delta x}=\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx} \)
Áp dụng định lý Varignon: \( -Rd=-\sum{f(x).x.\Delta x}=-\int\limits_{0}^{a}{f(x).xdx} \)
\( \Rightarrow d=\frac{\int\limits_{0}^{a}{f(x).xdx}}{\int\limits_{0}^{a}{f(x)dx}} \)
+ Trường hợp hệ lực phân bố đều: \( f(x)=q=const \) (Hình 2.15)
\( R=\int\limits_{0}^{a}{qdx}=\left. q.x \right|_{0}^{a}=q.a \)
\( d=\frac{\int\limits_{0}^{a}{q.xdx}}{R}=\frac{\left. q.\frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{a}}{q.a}=\frac{a}{2} \)
+ Trường hợp hệ lực phân bố tuyến tính: \( f(x)=\frac{q.x}{a} \) (Hình 2.16)
\( R=\int\limits_{0}^{a}{\frac{qx}{a}dx}=\frac{q}{a}.\left. \frac{{{x}^{2}}}{2} \right|_{0}^{a}=\frac{qa}{2} \)
\( d=\frac{\int\limits_{0}^{a}{\frac{qx}{a}xdx}}{R}=\frac{\frac{q}{a}.\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \right|_{0}^{a}}{\frac{qa}{2}}=\frac{2a}{3} \)
