Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương

a) Phương pháp đối xứng: Nếu vật đồng chất có mặt hau trục đối xứng thì trọng tâm vật ấy nằm trên mặt hay trục ấy (Hình 4.2).

+ Phương pháp phân chia: Nếu vật được chia thành một số phần mà trọng tâm mỗi phần biết, ta sẽ tính trọng tâm theo các công thức (4.6), (4.7) hoặc (4.8).

Ví dụ 1. Xác định trọng tâm hình phẳng ABCDEF đồng chất (Hình 4.3a) với các kích thước được cho trên hình.

Lời giải:

Ta thấy có thể chia hình ABCDEF thành 2 hình chữ nhật:

Hình chữ nhật I: ABB’F có diện tích  \( {{S}_{1}}=5\cdot 2=10 \) và tọa độ trọng tâm là  \( {{C}_{1}}(2,5;1) \).

Hình chữ nhật II: B’CDE có diện tích  \( {{S}_{2}}=2\cdot 5=10 \) tọa độ tâm là  \( {{C}_{2}}(6;2,5) \).

Áp dụng (4.7), ta có:  \( \left\{ \begin{align}  & {{x}_{c}}=\frac{{{x}_{{{C}_{1}}}}{{S}_{1}}+{{x}_{{{C}_{2}}}}{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}=\frac{2,5\cdot 10+6\cdot 10}{10+10}=4,25 \\  & {{y}_{C}}=\frac{{{y}_{{{C}_{1}}}}{{S}_{1}}+{{y}_{{{C}_{2}}}}{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}+{{S}_{2}}}=\frac{1\cdot 10+2,5\cdot 10}{10+10}=1,75 \\ \end{align} \right. \).

+ Phương pháp khối lượng âm: Áp dụng phương pháp này để tính trọng tâm những hình phẳng có phần khuyết mà trọng tâm hình và phần khuyết đã biết.

Ví dụ 2. Xác định trọng tâm tấm hình tròn bán kính R và có lỗ khuyết là hình tròn bán kính r, biết \( {{C}_{1}}{{C}_{2}}=a \). Thay số:  \( R=20\,cm,\,\,r=7\,cm,\,\,a=12\,cm \).

Lời giải:

Do tính đối xứng, ta biết trọng tâm hình có lỗ khuyết nằm trên trục x (tức  \( {{y}_{C}}=0 \)), ta chỉ cần tìm  \( {{x}_{C}} \).

Áp dụng công thức (4.7), ta có:

 \( {{x}_{C}}=\frac{{{x}_{{{C}_{1}}}}{{S}_{1}}-{{x}_{{{C}_{2}}}}{{S}_{2}}}{{{S}_{1}}-{{S}_{2}}}=\frac{0\cdot \pi {{R}^{2}}-a\cdot \pi {{r}^{2}}}{\pi {{R}^{2}}-\pi {{r}^{2}}}=-\frac{{{r}^{2}}}{{{R}^{2}}-{{r}^{2}}}a \).

Thay số  \( {{x}_{C}}=-\frac{{{7}^{2}}}{{{20}^{2}}-{{7}^{2}}}\cdot 12=-1,675\,cm \).

+ Phương pháp tích phân: Các công thức từ  \( (4.2)\to (4.8) \) có được là chia vật rắn thành các phần tử nhỏ, thực chất là các tổng tích phân. Chúng càng chính xác nếu cho qua giới hạn, khi đó các công thức trên có dạng:

\({{\vec{r}}_{C}}=\frac{1}{P}\int\limits_{V}{\vec{r}dP}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.9)\)

Hay  \( {{x}_{C}}=\frac{1}{P}\int\limits_{V}{xdP};\,\,{{y}_{C}}=\frac{1}{P}\int\limits_{V}{ydP};\,\,{{z}_{C}}=\frac{1}{P}\int\limits_{V}{zdP}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.10) \)

– Trường hợp vật khối: \({{\vec{r}}_{C}}=\frac{1}{V}\int\limits_{V}{\vec{r}dV}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.11)\)

Hay:  \( {{x}_{C}}=\frac{1}{V}\int\limits_{V}{xdV};\,\,{{y}_{C}}=\frac{1}{V}\int\limits_{V}{ydV};\,\,{{z}_{C}}=\frac{1}{V}\int\limits_{V}{zdV}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.12) \)

– Trường hợp vật là hình phẳng: \({{\vec{r}}_{C}}=\frac{1}{S}\int\limits_{S}{\vec{r}dS}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.13)\)

Hay:  \( {{x}_{C}}=\frac{1}{S}\int\limits_{S}{xdS};\,\,{{y}_{C}}=\frac{1}{S}\int\limits_{S}{ydS};\,\,{{z}_{C}}=\frac{1}{S}\int\limits_{S}{zdS}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.14) \)

– Trường hợp vật là đường cong: \({{\vec{r}}_{C}}=\frac{1}{L}\int\limits_{L}{\vec{r}dL}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.15)\)

Hay:  \( {{x}_{C}}=\frac{1}{L}\int\limits_{L}{xdL};\,\,{{y}_{C}}=\frac{1}{L}\int\limits_{L}{ydL};\,\,{{z}_{C}}=\frac{1}{L}\int\limits_{L}{zdL}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4.16) \)

Ví dụ 3. Xác định trọng tâm cung tròn đồng chất AB có bán kính R và \( \widehat{AOB}=2\alpha \)  (Hình 4.5).

Lời giải:

Chọn trục Ox chia đôi cung, do tính đối xứng nên trọng tâm nằm trên trục Ox, tức  \( {{y}_{C}}=0 \); ta chỉ cần tìm  \( {{x}_{C}} \). Chia cung AB thành vô số phần tử nhỏ:  \( MM’=dL \).

Áp dụng (4.16), ta có:  \( {{x}_{C}}=\frac{1}{L}\int\limits_{L}{xdL} \), với  \( x=R\cdot \cos \varphi ;\,\,dL=R\cdot d\varphi \) .

 \( {{x}_{C}}=\frac{1}{2R\alpha }\int\limits_{-\alpha }^{\alpha }{R\cdot \cos \varphi \cdot Rd\varphi }=\frac{{{R}^{2}}}{2R\alpha }\int\limits_{-\alpha }^{\alpha }{\cos \varphi d\varphi }=\left. \frac{R}{2\alpha }\sin \varphi  \right|_{-\alpha }^{\alpha }=\frac{R}{2\alpha }\cdot 2\sin \alpha =\frac{\sin \alpha }{\alpha }R \).