Thư Viện Bài Giảng Vật Lý Đại Cương
5.3. Phương trình vi phân chuyển động chất điểm
1. Dạng vectơ
Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của lực \( \overrightarrow{F}(t,r,\ddot{\vec{r}}) \). Áp dụng định luật II Newton, chú ý rằng: \( \vec{a}=\ddot{\vec{r}} \), ta có: \( m\cdot \ddot{\vec{r}}=\overrightarrow{F}(t,r,\ddot{\vec{r}})\,\,\,\,\,\,\,(5.29) \)
Phương trình (5.29) được gọi là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng vectơ.
Nhận Dạy Kèm môn Cơ Học Kỹ Thuật (Cơ học cơ sở) - Engineering Mechanics Online qua ứng dụng Zoom, Google Meet,...
- Dạy kèm online tương tác 1 thầy 1 trò! Hỗ trợ trực tuyến 24/7
- Dạy kèm Vật Lý Kỹ Thuật gồm:
- Cơ Học Kỹ Thuật (Cơ Học Cơ Sở) - Engineering Mechanics
- Sức Bền Vật Liệu - Mechanics of Materials
- Cơ Lưu Chất - Fluid Mechanics
- Sách Giải Bài Tập của các bộ Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Đại Cương - Vật Lý Lý Thuyết
- Bồi dưỡng ôn thi HSG các cấp - Luyện Thi vào lớp 10 khối Chuyên, Ôn Thi Đại Học môn Vật lý
- Lịch học sắp xếp sáng - chiều - tối, tất cả các buổi từ thứ 2 ➜ CN
- Thời lượng học 1,5h - 2h/1 buổi!
2. Dạng tọa độ Descartes
Chiếu (5.29) lên 3 trục của hệ trục tọa độ Oxyz, ta được: \( \left\{ \begin{align} & m\ddot{x}={{F}_{x}}(t,x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}) \\ & m\ddot{y}={{F}_{y}}(t,x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}) \\ & m\ddot{z}={{F}_{z}}(t,x,y,z,\dot{x},\dot{y},\dot{z}) \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5.30) \)
Phương trình (5.30) được gọi là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ Descartes.
Sách Giải Bài Tập Cơ Học Kỹ Thuật!
3. Dạng tọa độ tự nhiên
Chiếu (5.29) lên 3 trục của hệ trục tọa độ tự nhiên \( M\tau nb \), ta được: \( \left\{ \begin{align} & m\cdot \ddot{s}={{F}_{\tau }} \\ & m\cdot \frac{{{v}^{2}}}{\rho }={{F}_{n}} \\ & 0={{F}_{b}} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5.31) \)
Phương trình (5.31) được gọi là phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng tọa độ tự nhiên
4. Hai bài toán cơ bản của động lực học
a) Bài toán thuận
Biết chuyển động của chất điểm, tìm lực tác dụng. Khi đó bằng các phép đạo hàm phương trình chuyển động, ta tính được vận tốc và gia tốc chất điểm, sau đó thay vào các phương trình (5.30) hoặc (5.31) sẽ tìm được lực tác dụng.
b) Bài toán ngược
Biết lực tác dụng, tìm chuyển động. Khi đó ta phải tích phân các phương trình vi phân chuyển động chất điểm dạng (5.30) hoặc (5.31) với điều kiện ban đầu chuyển động (vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu) để xác định các chuyển động cần tìm.
5. Bài toán ví dụ
Ví dụ 1. (Bài toán thuận) Một vật nặng trọng lượng P được kéo lên với gia tốc a theo phương thẳng đứng (Hình 5.7). Tìm lực căng dây T.
Hướng dẫn giải:
Xét vật nặng xem như chất điểm. Lực tác dụng \( \left( \overrightarrow{P},\overrightarrow{T} \right) \). Áp dụng định luật II Newton: \( m\cdot \vec{a}=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{T} \).
Chiếu lên trục z: \( -ma=P-T\Rightarrow T=P+ma=m(g+a) \).
Ví dụ 2. (Bài toán thuận) Một sàng vật liệu hạt chuyển động theo luật dao động điều hòa thẳng đứng với biên độ \( a=5\,cm \). Hãy xác định tần số dao động của sàng để hạt hạt bật khỏi sàng (Hình 5.8).
Hướng dẫn giải:
Khảo sát vật liệu nằm trên sàng. Lực tác dụng \( \left( \overrightarrow{P},\overrightarrow{N} \right) \).
Sàng chuyển động theo quy luật dao động điều hòa biên độ a, tần số \( \omega \).
\( z=a\sin (\omega t+\alpha ) \) cũng là chuyển động của hạt (1)
Phương trình vi phân chuyển động của hạt (dạng hệ tọa độ Descartes): \( m\cdot \ddot{z}=P-N\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \)
Thay (1) vào (2) ta được: \( m{{\left[ a\sin (\omega t+\alpha ) \right]}_{t}}^{\prime \prime }=P-N\Leftrightarrow m\left[ -a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t+\alpha ) \right]=P-N \)
Trong đó: \( \dot{z}=a\omega \cos (\omega t+\alpha )\Rightarrow \ddot{z}=-a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t+\alpha ) \).
\( \Rightarrow N=P-m\left[ -a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t+\alpha ) \right]=m\left[ g+a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t+\alpha ) \right] \)
\( {{\left. N \right|}_{min}}=0\Rightarrow {{\left[ g+a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t+\alpha ) \right]}_{min}}=0 \)
Để hạt rời sàng: \( \Rightarrow {{\left[ g+a{{\omega }^{2}}\sin (\omega t+\alpha ) \right]}_{\sin (\omega t+\alpha )=-1}}=0 \)
\( \Rightarrow g=a{{\omega }^{2}}\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{g}{a}}=\sqrt{\frac{9,81}{0,05}}=14\,(rad/s) \).
Ví dụ 3. (Bài toán ngược) Một viên đạn được bắn lên trong mặt phẳng thẳng đứng xy với vận tốc ban đầu \( {{v}_{0}} \) nghiện với phương nằm ngang một góc \( \alpha \) (Hình 5.9). Tìm luật chuyển động của viên đạn.
Hướng dẫn giải:
Xét viên dạng xem như là chất điểm. Lực tác dụng \( \overrightarrow{P} \).
Phương trình vi phân chuyển động của viên đạn: \( m\cdot \vec{a}=m\cdot \vec{g} \), chiếu lên các trục x, y ta được:
\( \left\{ \begin{align} & m\cdot \ddot{x}=0 \\ & m\cdot \ddot{y}=-P=-mg \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*) \)
Điều kiện ban đầu \( t=0:\left\{ \begin{align} & x(0)=0;\,\,y(0)=0 \\ & \ddot{x}(0)={{v}_{0}}\cos \alpha ;\,\,\dot{y}(0)={{v}_{0}}\sin \alpha \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(**) \)
Giải hệ phương trình (*), ta được: \( \left\{ \begin{align} & \ddot{x}=0\Rightarrow \dot{x}(t)={{c}_{1}}\Rightarrow x(t)={{c}_{1}}t+{{c}_{2}} \\ & \ddot{y}=-g\Rightarrow \dot{y}(t)=-gt+{{c}_{3}}\Rightarrow y(t)=-g\frac{{{t}^{2}}}{2}+{{c}_{3}}t+{{c}_{4}} \\ \end{align} \right. \), với \( {{c}_{1}},{{c}_{2}},{{c}_{3}},{{c}_{4}} \) là các hằng số tích phân được xác định từ các điều kiện ban đầu (**):
\( \left\{ \begin{align} & x(0)=0\Rightarrow {{c}_{2}}=0;\,\,\,\,y(0)=0\Rightarrow {{c}_{4}}=0 \\ & \dot{x}(0)={{v}_{0}}\cos \alpha \Rightarrow {{c}_{1}}={{v}_{0}}\cos \alpha ;\,\,\dot{y}(0)={{v}_{0}}\sin \alpha \Leftrightarrow {{c}_{3}}\Rightarrow {{v}_{0}}\sin \alpha \\ \end{align} \right. \).
Vậy, luật chuyển động của viên đạn: \( \left\{ \begin{align} & x(t)={{v}_{0}}\cos \alpha \cdot t \\ & y(t)=-g\frac{{{t}^{2}}}{2}+{{v}_{0}}\sin \alpha \cdot t \\ \end{align} \right. \).
Ví dụ 4. (Bài toán ngược) Một tàu thủy khối lượng m, mở máy chuyển động từ trạng thái đứng yên trên mặt nước \( ({{v}_{0}}=0) \). Biết lực phát động và lực cản tác dụng lên tàu có cường độ \( F=a-b\cdot v \) (với v là vận tốc tàu, \( a,\,\,b \) là các hằng số). và có hướng theo hướng chuyển động của tàu (Hình 5.10).
a) Xác định vận tốc tới hạn của tàu.
b) Xác định phương trình chuyển động của tàu.
Hướng dẫn giải:
Xét tàu như chất điểm. Lực tác dụng \( \left( \overrightarrow{P},\overrightarrow{N},\overrightarrow{F} \right) \).
Phương trình vi phân chuyển động của tàu theo trục x:
\( m\cdot \ddot{x}=F=a-b\cdot v=a-b\cdot \dot{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \)
Điều kiện ban đầu \( t=0:\,\,\left\{ \begin{align} & x(0)=0 \\ & \dot{x}(0)={{v}_{0}}=0 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \)
a) Tìm vận tốc tới hạn của tàu
Tàu đạt vận tốc tới hạn khi: \( v=\dot{x}=const\Rightarrow \ddot{x}=0 \).
Vậy từ (1), ta có: \( 0=a-b\dot{\cdot }\Rightarrow v=\dot{x}=\frac{a}{b}=const \).
b) Tìm quy luật chuyển động (Giải phương trình vi phân (1)):
\( m\cdot \ddot{x}=a-b\cdot \dot{x}\Rightarrow m\frac{d\dot{x}}{dt}=a-b\cdot \dot{x}\Rightarrow \frac{m}{a-b\cdot \dot{x}}d\dot{x}=dt \)
Lấy tích phân 2 vế: \(\int\limits_{0}^{\dot{x}(t)}{\frac{m}{a-b\cdot \dot{x}}d\dot{x}}=\int\limits_{0}^{t}{dt}\Rightarrow \left. \frac{m}{-b}\ln \left| a-b\cdot \dot{x} \right| \right|_{0}^{\dot{x}(t)}=t\Rightarrow \frac{m}{-b}\ln \left| \frac{a-b\cdot \dot{x}}{a} \right|=t\)
\( \Rightarrow 1-\frac{b}{a}\dot{x}={{e}^{-\frac{b}{m}t}}\Rightarrow \dot{x}=\frac{a}{b}\left( a-{{e}^{-\frac{b}{m}t}} \right) \).
Lấy tiếp tích phân 2 vế: \( \dot{x}=\frac{a}{b}\left( 1-{{e}^{-\frac{b}{m}t}} \right)\Rightarrow \frac{dx}{dt}=\frac{a}{b}\left( 1-{{e}^{-\frac{b}{m}t}} \right)\Rightarrow dx=\frac{a}{b}\left( 1-{{e}^{-\frac{b}{m}t}} \right)dt \)
\( \Rightarrow \int\limits_{0}^{x}{dx}=\int\limits_{0}^{t}{\frac{a}{b}\left( 1-{{e}^{-\frac{b}{m}t}} \right)dt}\Rightarrow x=\left. \frac{a}{b}\left( t+\frac{m}{b}{{e}^{-\frac{b}{m}t}} \right) \right|_{0}^{t}\Rightarrow x=\frac{a}{b}t-\frac{m\cdot a}{{{b}^{2}}}\left( 1-{{e}^{-\frac{b}{m}t}} \right) \).
Ví dụ 5. (Bài toán ngược) Một vật nặng khối lượng m được treo vào một lò xo độ cứng c đang cân bằng tại vị trí O. Kéo vật nặng lệch khỏi vị trí cân bằng O một đoạn \( {{x}_{0}} \) và cho vật một vận tốc ban đầu \( {{v}_{0}} \) hướng về O. Tìm chuyển động của vật (Hình 5.11).
Hướng dẫn giải:
Xét vật nặng xem như là chất điểm. Lực tác dụng \( \left( \overrightarrow{P},{{\overrightarrow{F}}_{dh}} \right) \).
\( {{F}_{dh}}=c\cdot \delta =c({{\delta }_{0}}+x) \) với \( {{\delta }_{0}} \) là độ dãn tĩnh của lò xo và \( c\cdot {{\delta }_{0}}=P=m\cdot g \).
Chọn trục Ox hướng xuống như hình vẽ, phương trình vi phân chuyển động của vật nặng:
\( m\cdot \ddot{x}=P-{{F}_{dh}}=m\cdot g-c({{\delta }_{0}}+x)=-c\cdot x\Rightarrow m\cdot \ddot{x}+c\cdot x=0\Rightarrow \ddot{x}+\frac{c}{m}x=0 \).
Đặt \( {{k}^{2}}=\frac{c}{m} \), ta được: \( \ddot{x}+{{k}^{2}}x=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \).
Điều kiện ban đầu \( t=0:\,\,\left\{ \begin{align} & x(0)={{x}_{0}} \\ & \dot{x}(0)={{v}_{0}} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,(2) \)
Phương trình (1) là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, có nghiệm tổng quát như sau:
\( x={{c}_{1}}\sin (kt)+{{c}_{2}}\cos (kt)\Rightarrow \dot{x}={{c}_{1}}\cdot k\cos (kt)-{{c}_{2}}\cdot k\sin (kt)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3) \)
Thay (2) vào (3), ta được: \( \left\{ \begin{align} & x(0)={{x}_{0}}\Rightarrow {{c}_{2}}={{x}_{0}} \\ & \dot{x}(0)={{v}_{0}}\Rightarrow {{c}_{1}}\cdot k={{v}_{0}}\Rightarrow {{c}_{1}}=\frac{{{v}_{0}}}{k} \\ \end{align} \right. \)
Chuyển động của vật: \( x=\frac{{{v}_{0}}}{k}\sin (kt)+{{x}_{0}}\cos (kt) \) hay \( x=A\sin (kt+\alpha ) \) với \( A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{v_{0}^{2}}{{{k}^{2}}}};\,\,\tan \alpha =\frac{{{x}_{0}}\cdot k}{{{v}_{0}}} \).
Đây là dao động điều hòa biên độ A và tần số góc \( k=\sqrt{\frac{c}{m}} \).
Ví dụ 6. (Bài toán ngược) Một chất điểm khối lượng m chuyển động trong mặt phẳng xy dưới tác dụng của lực đẩy từ điểm O cố định theo quy luật \( \overrightarrow{F}={{k}^{2}}\cdot m\cdot \vec{r} \) (với k là hằng số; m là khối lượng chất điểm, \( \vec{r} \) là vectơ định vị chất điểm tính từ O). Thời điểm ban đầu, chất điểm ở vị trí \( {{M}_{0}}(a,0) \) có vận tốc \( {{\vec{v}}_{0}} \) song song với trục y. Xác định quỹ đạo của chất điểm.
Hướng dẫn giải:
Chất điểm M chuyển động dưới tác dụng của lực \( \overrightarrow{F}={{k}^{2}}\cdot m\cdot \vec{r} \).
Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm:
\( \left\{ \begin{align} & m\cdot \ddot{x}=F\cos \alpha ={{k}^{2}}\cdot m\cdot r\cdot \frac{x}{r} \\ & m\cdot \ddot{y}=F\sin \alpha ={{k}^{2}}\cdot m\cdot r\cdot \frac{y}{r} \\ \end{align} \right. \) \( \Rightarrow \left\{ \begin{align} & \ddot{x}={{k}^{2}}\cdot x \\ & \ddot{y}={{k}^{2}}\cdot y \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \).
Điều kiện ban đầu \( t=0:\,\,\left\{ \begin{align} & x(0)=a \\ & \dot{x}(0)=0 \\ \end{align} \right. \) và \( \left\{ \begin{align} & y(0)=0 \\ & \dot{y}(0)={{v}_{0}} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,(2) \)
Giải (1) với điều kiện (2), ta được:
Chú ý: Nghiệm tổng quát của phương trình \( \ddot{x}={{k}^{2}}\cdot x \) có dạng: \( x={{c}_{1}}{{e}^{-kt}}+{{c}_{2}}{{e}^{kt}} \) và \( \dot{x}=-{{c}_{1}}\cdot k\cdot {{e}^{-kt}}+{{c}_{2}}\cdot k\cdot {{e}^{kt}} \).
Từ điều kiện thứ I của (2): \( \left\{ \begin{align} & {{c}_{1}}+{{c}_{2}}=a \\ & -{{c}_{1}}\cdot k+{{c}_{2}}\cdot k=0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{c}_{1}}={{c}_{2}}=\frac{a}{2} \).
Tương tự, nghiệm tổng quát của phương trình \( \ddot{y}={{k}^{2}}\cdot y \) có dạng:
\( y={{c}_{3}}{{e}^{-kt}}+{{c}_{4}}{{e}^{kt}} \) và \( \dot{y}=-{{c}_{3}}\cdot k\cdot {{e}^{-kt}}+{{c}_{4}}\cdot k\cdot {{e}^{kt}} \).
Từ điều kiện thứ II của (2): \( \left\{ \begin{align} & {{c}_{3}}+{{c}_{4}}=0 \\ & -{{c}_{3}}\cdot k+{{c}_{4}}\cdot k={{v}_{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{c}_{3}}=-{{c}_{4}}=-\frac{{{v}_{0}}}{2k} \).
Vậy, \( \left\{ \begin{align} & x=\frac{a}{2}({{e}^{-kt}}+{{e}^{kt}})=a\cdot \frac{({{e}^{kt}}+{{e}^{-kt}})}{2}=a\cdot \sinh (kt) \\ & y=-\frac{{{v}_{0}}}{2k}({{e}^{-kt}}+{{e}^{kt}})=\frac{{{v}_{0}}}{k}\frac{({{e}^{kt}}-{{e}^{-kt}})}{2}=\frac{{{v}_{0}}}{k}\cosh (kt) \\ \end{align} \right. \).
Chú ý: \( {{\sinh }^{2}}(kt)-{{\cosh }^{2}}(kt)=1 \), quỹ đạo chuyển động của chất điểm có dạng \( \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{\left( \frac{{{v}_{0}}}{k} \right)}^{2}}}=1 \) là đường hyperbol.
Hãy mua Sách Giải Bài Tập Cơ Học Kỹ Thuật
Trong quá trình đăng tải bài giảng lên website sẽ không tránh khỏi việc sai sót nên để xem nhiều bài tập có lời giải chi tiết và nhiều bài toán hay hơn nữa, kính mời bạn đọc hãy mua Sách Giải Bài Tập Cơ Học Kỹ Thuật để được xem đầy đủ và chính xác nhất!
